2021考研数学复习全书 数学一

**篇 高等数学 **章函数、极限、连续(3)考点与要求(3)1函数(3)内容精讲(3)一、定义(3)二、重要性质、定理、公式(5)例题分析(6)一、求分段函数的复合函数(6)二、关于函数有界（无界）的讨论(7)2极限(8)内容精讲(8)一、定义(8)二、重要性质、定理、公式(9)三、计算极限的一些有关方法(10)例题分析(12)一、求函数的极限(12)二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限(20)三、含有｜x｜，e1x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限(23)四、无穷小的比较(24)五、数列的极限(25)六、极限运算定理的正确运用(28)3函数的连续与间断(31)内容精讲(31)一、定义(31)二、重要性质、定理、公式(32)例题分析(32)一、讨论函数的连续与间断(32)二、在连续条件下求参数(33)三、讨论由极限定义的函数的连续性或间断点的类型(34)练 习(35)第二章一元函数微分学(36)考点与要求(36)1导数与微分，导数的计算(36)内容精讲(36)一、定义(36)二、重要性质、定理、公式(37)例题分析(40)一、按定义求一点处的导数(40)二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数(42)三、绝对值函数的导数(46)四、由极限式表示的函数的可导性(47)五、导数与微分、增量的关系(48)六、求导数的计算题(48)2导数的应用(51)内容精讲(51)一、定义(51)二、重要性质、定理、公式与方法(52)例题分析(54)一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论(54)二、渐近线(59)三、曲率与曲率圆(59)四、*大值、*小值问题(62)3中值定理、不等式与零点问题(64)内容精讲(64)一、重要定理(64)二、重要方法(65)例题分析(66)一、不等式的证明(66)二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题(71)三、复合函数▁，f（x），f′（x））的零点(73)四、复合函数▁，f（x），f′（x），f″（x））的 零点(74)五、零点的个数问题(75)六、证明存在某盥隳巢坏仁 (77)七、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系(78)练 习(80)第三章一元函数积分学(81)考点与要求(81)1不定积分与定积分的概念、性质、理论(81)内容精讲(81)一、定义(81)二、重要性质、定理、公式(82)例题分析(83)一、分段函数的不定积分与定积分(83)二、定积分与原函数的存在性(86)三、奇、偶函数，周期函数的原函数及变限积分(86)2不定积分与定积分的计算(89)内容精讲(89)一、基本积分公式(89)二、基本积分方法(90)例题分析(92)一、简单有理分式的积分(92)二、三角函数的有理分式的积分(93)三、简单无理式的积分(94)四、一般可用分部积分法处理的几种题型 (95)五、对称区间上的定积分，周期函数的定积分(100)六、含参变量带绝对值号的定积分(102)七、积分计算杂例(103)3反常积分及其计算与判敛(104)内容精讲(104)一、定义(104)二、重要性质、定理、公式(105)例题分析(106)一、反常积分的计算与通过计算获知反常积分的敛散性(106)二、反常积分收敛、发散的判别(111)4定积分的应用(115)内容精讲(115)一、基本方法(115)二、重要几何公式与物理应用(115)例题分析(117)一、几何应用(117)二、物理应用(120)5定积分的证明题(124)内容精讲(124)例题分析(125)一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等(125)二、由积分定义的函数求极限(127)三、积分不等式的证明(127)四、零点问题(132)练 习(134)第四章向量代数与空间解析几何(136)考点与要求(136)1向量代数(136)内容精讲(136)一、与向量有关的基本概念(136)二、向量的运算及性质(137)例题分析(138)一、向量的运算(138)二、向量运算的应用及向量的位置关系(140)2平面与直线(141)内容精讲(141)一、平面方程(141)二、直线方程(141)三、平面与直线间的位置关系(141)例题分析(142)一、建立平面方程(142)二、建立直线方程(144)三、与平面和直线的位置关系有关的问题(146)3空间曲面与曲线(149)内容精讲(149)一、旋转面及其方程(149)二、柱面及其方程(149)三、常见的二次曲面及图形(150)四、空间曲线及其方程(151)五、空间曲线的投影(151)例题分析(151)一、建立柱面方程(151)二、建立旋转面方程(152)三、建立空间曲线的投影曲线方程(154)练 习(155)第五章多元函数微分学(156)考点与要求(156)1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念）(156)内容精讲(156)一、多元函数(156)二、二元函数的极限与连续(156)三、二元函数的偏导数与全微分(157)例题分析(159)一、讨论二重极限(159)二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性(161)三、讨论二元函数的可微性(162)2多元函数的微分法(165)内容精讲(165)一、复合函数的偏导数与全微分(166)二、隐函数的偏导数与全微分(167)例题分析(168)一、求复合函数的偏导数与全微分(168)二、求隐函数的偏导数与全微分(176)3极值与*值(182)内容精讲(182)一、无条件极值(182)二、条件极值(182)例题分析(183)一、无条件极值问题(183)二、条件极值（*值）问题(186)三、多元函数的*大(小)值问题(187)4方向导数与梯度多元微分在几何上的应用泰勒定理(192)内容精讲(192)一、方向导数(192)二、梯度(192)三、曲面的切平面与法线(193)四、曲线的切线和法平面(193)五、泰勒定理(194)例题分析(194)一、有关方向导数与梯度(194)二、有关曲面的切平面和曲线的切线(197)三、泰勒定理(199)练 习(200)第六章多元函数积分学(201)考点与要求(201)1重积分(201)内容精讲(201)一、二重积分(201)二、三重积分(204)例题分析(206)一、计算二重积分(206)二、累次积分交换次序及计算(215)三、与二重积分有关的综合题(217)四、与二重积分有关的积分不等式问题(220)五、计算三重积分(223)六、三重积分的累次积分(226)2曲线积分(227)内容精讲(227)一、对弧长的线积分(**类线积分)(227)二、对坐标的线积分（第二类线积分）(228)例题分析(230)一、对弧长的线积分（**类线积分）(230)二、对坐标的线积分（第二类线积分）(233)3曲面积分(241)内容精讲(241)一、对面积的面积分（**类面积分）(241)二、对坐标的面积分（第二类面积分）(242)例题分析(244)一、对面积的面积分（**类面积分）(244)二、对坐标的面积分（第二类面积分）(246)4场论初步(252)内容精讲(252)一、梯度(252)二、通量(252)三、散度(252)四、旋度(252)例题分析(253)梯度、旋度、散度的计算(253)5多元积分的应用(254)内容精讲(254)例题分析(255)一、几何应用(255)二、求物理量(256)练 习(259)第七章无穷级数(261)考点与要求(261)1常数项级数(261)内容精讲(261)一、级数的概念与性质(261)二、级数的判敛准则(262)例题分析(263)一、正项级数敛散性的判定(263)二、交错级数敛散性的判定(267)三、任意项级数敛散性判定(268)四、有关常数项级数的证明题与综合题(273)2幂级数(279)内容精讲(279)一、函数项级数及收敛域与和函数(279)二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域(279)三、幂级数的性质(280)四、函数的幂级数展开(280)例题分析(281)一、求幂级数的收敛域(281)二、将函数展开为幂级数(284)三、级数求和(287)3傅里叶级数(293)内容精讲(293)一、三角函数及其正交性(293)二、傅里叶级数(293)三、收敛性定理(293)四、周期为2鸬暮母道镆墩箍 (293)五、周期为2l的函数的傅里叶展开(294)例题分析(295)一、有关收敛定理的问题(295)二、将函数展开为傅里叶级数(296)练 习(297)第八章常微分方程(299)考点与要求(299)1常微分方程(299)内容精讲(299)一、微分方程的基本概念(299)二、常见的几类一阶方程及解法(299)三、可降阶的高阶微分方程(301)四、高阶线性方程(301)例题分析(303)一、微分方程求解(303)二、微分方程的综合题(309)三、微分方程的应用(311)练 习(314) 第二篇 线性代数 **章行列式(317)考点与要求(317)内容精讲(317)例题分析(320)一、数字型行列式的计算(320)二、抽象型行列式的计算(327)三、行列式A是否为零的判定(329)四、关于代数余子式求和(330)练 习(332)第二章矩阵(333)考点与要求(333)内容精讲(333)1矩阵的概念及运算(333)一、矩阵的概念(333)二、矩阵的运算(334)三、矩阵的运算规则(334)四、特殊矩阵(335)2伴随矩阵、可逆矩阵(336)一、伴随矩阵、可逆矩阵的概念(336)二、伴随矩阵重要公式(336)三、n阶矩阵A可逆的充分必要条件(336)四、逆矩阵的运算性质(336)五、求逆矩阵的方法(337)3初等变换、初等矩阵(337)一、定义(337)二、初等矩阵与初等变换的性质(338)4矩阵的秩(338)一、矩阵秩的概念(338)二、矩阵秩的公式(338)5分块矩阵(339)一、分块矩阵的概念(339)二、分块矩阵的运算(339)例题分析(340)一、矩阵的概念及运算(340)二、特殊方阵的幂(342)三、伴随矩阵的相关问题(345)四、可逆矩阵的相关问题(347)五、初等变换、初等矩阵(350)六、如何求矩阵(353)七、矩阵的秩(355)练 习(358)第三章向量(360)考点与要求(360)内容精讲(360)1n维向量的概念与运算(360)2线性表出、线性相关(361)一、线性表出的概念(361)二、线性相关、线性无关的概念(361)三、线性表出、线性相关的重要定理(361)3极大线性无关组、秩(362)一、极大线性无关组、向量组秩的概念(362)二、有关秩的定理(362)4Schmidt正交化、正交矩阵(363)一、Schmidt正交化（正交规范化方法）(363)二、正交矩阵(363)5向量空间(363)一、向量空间的概念(363)二、主要定理(364)例题分析(365)一、线性相关性判别(365)二、向量的线性表示(366)三、线性相关与线性无关的证明(369)四、秩与极大线性无关组(374)五、正交化、正交矩阵(376)六、向量空间(377)练 习(380)第四章线性方程组(382)考点与要求(382)内容精讲(382)1克拉默法则(382)2齐次线性方程组(383)3非齐次线性方程组(384)例题分析(385)一、线性方程组的基本概念题(385)二、线性方程组的求解(389)三、基础解系(396)四、Ax=0的系数矩阵A的行向量和解向量的关系，由Ax=0的基础解系反求A(398)五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系(399)六、两个方程组的公共解(401)七、同解方程组(403)练 习(405)第五章特征值、特征向量、相似矩阵(407)考点与要求(407)内容精讲(407)1特征值、特征向量(407)一、特征值，特征向量(407)二、特征方程、特征多项式、特征矩阵(407)三、特征值的性质(407)四、求特征值、特征向量的方法(408)2相似矩阵、矩阵的相似对角化(408)一、相似矩阵(408)二、矩阵可相似对角化的充分必要条件(408)三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件(409)3实对称矩阵的相似对角化(409)一、实对称阵(409)二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化(409)三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤(409)例题分析(410)一、特征值，特征向量的求法(410)二、两个矩阵有相同的特征值的证明(414)三、关于特征向量(415)四、矩阵是否相似于对角阵的判别(415)五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数(418)六、由特征值、特征向量反求A(419)七、矩阵相似及相似标准形(420)八、相似对角阵的应用(425)练 习(428)第六章二次型(430)考点与要求(430)内容精讲(430)1二次型的概念、矩阵表示(430)一、二次型概念(430)二、二次型的矩阵表示(430)2化二次型为标准形、规范形合同二次型(431)一、二次型的标准形，规范形(431)二、化二次型为标准形，规范形(431)三、合同矩阵，合同二次型(432)3正定二次型、正定矩阵(433)例题分析(433)一、二次型的矩阵表示(433)二、化二次型为标准形(435)三、合同矩阵、合同二次型(440)四、正定性的判别与证明(442)五、二次型的应用(445)练 习(447) 第三篇 概率论与数理统计 **章随机事件和概率(451)考点与要求(451)1事件、样本空间、事件间的关系与运算(451)内容精讲(451)例题分析(453)2概率、条件概率、独立性和五大公式(455)内容精讲(455)例题分析(456)3古典概型与伯努利概型(461)内容精讲(461)例题分析(462)练 习(464)第二章随机变量及其概率分布(465)考点与要求(465)1随机变量及其分布函数(465)内容精讲(465)例题分析(466)2离散型随机变量和连续型随机变量(467)内容精讲(467)例题分析(468)3常用分布(469)内容精讲(469)例题分析(472)4随机变量函数的分布(475)内容精讲(475)例题分析(475)练 习(477)第三章多维随机变量及其分布(478)考点与要求(478)1二维随机变量及其分布(478)内容精讲(478)例题分析(480)2随机变量的独立性(485)内容精讲(485)例题分析(485)3二维均匀分布和二维正态分布(492)内容精讲(492)例题分析(493)4两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布(496)内容精讲(496)例题分析(497)练 习(503)第四章随机变量的数字特征(505)考点与要求(505)1随机变量的数学期望和方差(505)内容精讲(505)例题分析(507)2矩、协方差和相关系数(514)内容精讲(514)例题分析(515)练 习(521)第五章大数定律和中心极限定理(523)考点与要求(523)内容精讲(523)例题分析(524)练 习(526)第六章数理统计的基本概念(527)考点与要求(527)1总体、样本、统计量和样本数字特征(527)内容精讲(527)例题分析(528)2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布(530)内容精讲(530)例题分析(532)练 习(536)第七章参数估计(538)考点与要求(538)1点估计(538)内容精讲(538)例题分析(538)2估计量的求法和区间估计(543)内容精讲(543)例题分析(545)练 习(550)第八章假设检验(552)考点与要求(552)内容精讲(552)例题分析(553)练 习(557)练习参考答案(558)