我们在四维空间可以做什么:不用计算的18堂数学课

每当我不得不去看牙医时，我总喜欢找一些能转移自己注意力的消遣活动来度过陌生人在我嘴里捣鼓的时光，通常是进行一些只需动脑就能完成的数字游戏。一次去看牙医的路上，我在Twitter（推特）上发了一个状态，想征求一些不需要动手演算的数学难题。一个朋友回应了我，这个难题是：重新排列1~9这9个数字，使前两个数字组成的数是2的倍数，前3个数字组成的数是3的倍数，以此类推，直到整个数是9的倍数。这个问题只有一个解。 还没在牙医的椅子上坐定，我就已经排除了*普通的排列：123,456,789。虽然12能被2整除，123能被3整除，但也就到此为止了，因为1,234不能被4整除。当牙医折腾好我的牙齿，我已经确定了一些数字，但还没完全排列好。不过，很显然我不能看完牙医后还赖在椅子上不走。回家后，我*终确定了这个问题的唯一解是381,654,729。 ［如果不要求用到所有9个数字，并且可以使用0，那么结果就不唯一了，比如480,006就满足要求。这类连续组合的数是可整除的，因而被称为累进可除数（polydivisible number）。我知道的一共有20,456个累进可除数，其中*大的是3,608,528,850,368,400,786,036,725。］ 有趣的是，这个问题能做出来只是因为我们目前使用的数据形式刚好合适。如果你把这个难题交给一个古罗马人，那就无法帮助他在看牙时消磨时间了。古罗马人使用的数字与我们不同，比如V和X。更重要的是，这些数字不论出现在数的哪个位置，都代表相同的数值：V永远代表5，X永远代表10。不像我们的计数系统，12中的2代表2，而123中的2代表20。不过好在罗马的牙科足够原始粗暴。 令人尴尬的是，很多数字难题，甚至是我们在学校学习的数学，都只在我们使用的计数系统下才有效。在目前的计数系统中，如果111,111,111与自己相乘，会得到一个赏心悦目的结果：12,345,678,987,654,321（所有数字从1按顺序排至9，然后倒序排至1）。这个规律对于更短的全1数也成立，比如11,111×11,111 = 123,454,321，111×111 = 12,321。如果用不同的计数系统书写，上述规律会瞬间消失：111用罗马数字写出来是CXI，但CXI×CXI的结果是不讨喜的XMMCCCXXI。 以上这些事实说明，数字（digit）和数（number）是不同的。比如，数3和数字3虽然看起来完全相同（实际上也的确如此），但它们之间存在微妙的差别。数就是你所认为的那个含义，它是一个很大的类别：3是数，3,435也是数。数是抽象的概念，要写下它们，我们就需要用数字来表达，所以数字只是符号，在书写时用来表示一个数。字母也是这个道理，它们也是符号，是用来书写单词的符号。3,435这个数使用了3、4、5这三个数字。你遇到的数学都可以分成两大类：一类是真正的数学，基于数学内在的本质；另外一类仅仅是巧妙的结果，是我们恰好采用这种书写方式的副产品。 ……