博弈论:决策制胜的法则/万物皆数学

引 言 游戏和数学之间有什么关系？数学游戏除了有娱乐价值，是否能够模拟现实生活中的情境？假如从数学的角度分析某个游戏，我们需要哪些信息，又能得出什么结论？我们是否能够通过数学来研究人类行为，并且利用它做决策？ 这些问题仅仅是本书将要尝试回答的一部分。这是一本有关数学和游戏的书。与其他涉及该方面的书不同，本书的内容并不是各种依靠大量技巧完成的游戏，而是在分析某些游戏的基础上，涵盖了一系列数学概念、过程和理论。 通过对相关材料的研究，本书试图表明，数学中的二分法，比如严肃数学或趣味数学、纯粹数学或应用数学，实际上就像是同一枚硬币的正反两面，甚至更确切地说，像是一个四面体的四个面。*初，游戏似乎只是一种娱乐，而我们在分析游戏的过程中引入了数学，将其变成一种纯粹的智力愉悦。由于博弈论的存在，对游戏的数理性研究就成了数学与现实情境之间关系的*相关的学科分支之一。 本书的**章阐述这门学科的历史，梳理数学和游戏之间的历史关系；第二章和第三章分别对不含运气因素的游戏（所谓的完全信息博弈）和含有运气因素的游戏进行研究分析。在第二章中，我们通过几个策略小游戏的例子，论述了如何通过分析游戏，得出某种可能获胜的游戏方法（制胜策略），并对分析游戏过程中涉及的数学问题进行探索。在第三章中，我们探讨了游戏中基本的概率问题，赌博游戏需要计算可能性的大小，这个过程会涉及概率论的基本原理。 *后两章是对博弈论的介绍，该理论是数学的一个分支， 是由约翰.冯.诺依曼在20 世纪早期创立的。该理论从多方面研究人类行为，从而帮助人们在经济、政治、军事机构以及动物行为等领域做出*佳决策。该理论将博弈作为数学模型， 以此触发现实情境。 博弈论分析了某些困境，例如在懦夫博弈中，为了获胜， 可以冒多大的风险？以及在囚徒困境中，是保持沉默还是揭发对方？这两个经典难题反映的局面，在现实世界中的很多事件中都会出现，对抗与合作之间的冲突往往会让我们很难做出*佳抉择。即使我们无法利用数学找到明确的解决办法，但是在对不同可能性、对抗风险和合作优势的量化过程中，如何摆脱困境，也会逐渐明了起来。 第三章 运气游戏 本章重点论述游戏和概率之间的关系。当人类尝试模拟或预测某些像运气这样看似无序的东西时，这种关系就已经出现了。在此之前，数学家关注的一直是确定而规律的领域，相关研究有所保障。可以说，概率计算方法的出现开创了数学界的新纪元。我们逐渐发现，其应用之处越来越多，涉及领域越来越广。直到现在，我们用数学研究和模拟的不仅是概率，还包括其他不确定的东西，比如分形学的无序性和不规律性。 不服输的人：运气游戏和概率的诞生 目前，复杂的概率论的应用领域十分广泛，因为在我们的世界里，与确定因素相比，不确定因素具有更为重要的意义。然而，概率论的起源与人们在运气游戏中的好胜心是分不开的。事实上，概率论的数学模型*初是基于概率的定义发展而来的。17世纪中期，该模型在法国初步成型，特别体现在1654年，布莱瑟.帕斯卡和皮埃尔.费马在通信中就安托万.贡博（Antoine Gombauld，1607—1685）提出的问题所进行的讨论，后者我们也称之为德米尔（Chevalier de Méré）。德米尔是一个狂热的赌徒， 他曾向帕斯卡求助，希望其对某些骰子游戏的结果做出解释。 德米尔一生中很大一部分时间都靠直觉方法来操作和分析运气游戏。碰巧的是，经证实，这些方法往往都是正确的。看起来， 他通过某些看似平衡的游戏（也就是输赢机会参半的游戏）赢了很多钱。在当时的人们看来，很多游戏都是平衡的，其中一个就是，掷骰子4 次，至少掷得一次6 点，但德米尔却知道，这个游戏是有胜算的。不过，他提出了一种新玩法，即掷一对骰子24 次， 至少有一次要掷得一对6 点。他以为这种玩法跟之前的游戏一样， 也会赢钱。但他很快就发现，事实并非如此，原有的策略甚至适得其反。于是，在1654 年左右，他找到了帕斯卡，询问自己的推断哪里错了，为什么新玩法会让他输钱，跟之前的游戏完全不同。 驾驭机会：概率的数学研究 在介绍概率的概念和基本性质之前，我们先来分析一下德米尔的两种赌博游戏。**种的具体情况是这样的：掷4 次骰子，至少掷得一枚6 点，这样的概率有多少？我们可以运用概率论的基本原理解决这个问题，即某个事件或其相反事件发生的概率为1。因此，我们必须首先算一下，掷4 次骰子，没有掷得6 点的概率是多少。显然，每掷一次骰子，该概率为p（没有掷得6 点的概率） = 5/6。而掷4 次骰子，每一次都是完全独立的， 这就意味着我们需要将每一次的概率相乘，得出总概率为： （5/6）.（5/6）.（5/6）.（5/6）=（5/6）4 = 625 / 1 296 = 0.482 1/2。 由此我们可以看出，正如德米尔原本猜测的一样，掷4 次骰子，掷得一枚6 点，在这上面下注是有胜算的。 我们可以用类似的方法来分析和解决第二种赌法：掷两枚骰子24 次，掷得一对6 点的概率是多少？跟之前一样，我们必须先算一下在这24 次中，无法掷得一对6 点的概率。两枚骰子每掷一次，该概率为p（没有掷得一对6 点的概率）=35/36。因此，掷24 次，该概率为： p（没有掷得一对6 点的概率）=（35/36）24 = 0.5086。 从这个结果可以明显看出，至少掷得一对6 点的概率为： 1-0.5086 = 0.4914 < 1/2。 以上我们分析的赌博游戏是历史上*早解决的概率问题之一。在这个过程中，我们已经运用到了一系列定义和性质，二者构成了概率论的基础。 这些性质，很多都在之前提到的帕斯卡和费马的通信中进行过讨论，后来又在拉普拉斯的概率论专著中建立起来。不过它们都是以逆向的形式呈现出来的，下面我们通过几个相关的掷骰子游戏加以说明： 事件 概率 1 任意事件E总是具备以下条件： 0≦p（E）≦1 每掷一次骰子，掷得1~6某一点数（比如5点）的概率都是1/6，因为可能事件有6种，其中只有一种是符合预期的（ 即掷得5点）。 2 如果E一定发生，则p（E）=1，而如果E不可能发生，则p（E）= 0 每掷一次骰子，掷得7点的概率为0（该事件不可能发生），而掷得点数为大于0且小于7的整数的概率则为1（该事件一定发生）。 3 p（非E）=1-p（E） 每掷一次骰子，p（掷得6点）=1-p（ 没有掷得6点）。那么，每掷4次骰子，p（至少掷得一个6点）=1-p（没有掷得6点）。 4 如果A和B代表不同的事件，p（A或 B）=p（A）+p（B） 每掷一次骰子，p（掷得偶数点或5 点）= p（掷得偶数点）+p（掷得5 点）=1/2+1/6=2/3。 5 如果A和B代表独立的事件，p（A和 B）= p（A）.p（B） 如果一次掷出两枚骰子，那么没有掷得6点的概率为：p（两枚骰子都不是6点）=p（不是6点）.p（不是6 点）=5/6.5/6=25/36。 帕斯卡和费马在通信中还谈论到另外一个有关赌博游戏的问题。具体地说，就是如果游戏在某一时刻突然中断，玩家应该如何分配赌金。这个问题就是我们常说的“点数分配问题”。*早涉及该问题的是卡尔达诺，他提出的解决方案是基于双方的现有点数，而不是双方在游戏结束后获胜的概率。