微积分的力量

没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。
有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个*初与形状相关的理论，*终又如何重塑了文明？
我们可以从物理学家理查德.费曼的一句妙语中洞见这个问题的答案，这句话是他在与小说家赫尔曼.沃克讨论曼哈顿计划时说的。当时沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研，他去加州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家，费曼就是其中之一。采访结束临别之际，费曼问沃克是否了解微积分。沃克坦承他并不了解，于是费曼说道：“你*好学学微积分，它是上帝的语言。”
宇宙是高度数学化的，但原因尚无人知晓。这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式，因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律*终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。尽管细节会随着我们探讨的具体内容而有所不同，但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。微积分利用了这种规则，并将其表述出来。
艾萨克.牛顿是*早瞥见这一宇宙奥秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。如今，我们把这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来，每当有新的宇宙奥秘被揭开，我们就会发现同样的模式一直有效。从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵从微分方程的规则。我敢打赌，这就是费曼说“微积分是上帝的语言”时想要表达的意思。如果有什么东西称得上宇宙的奥秘，那么非微积分莫属。
人类在不经意间发现了这种奇怪的语言（先是在几何学的隐秘角落里，后来是在宇宙密码中），然后学会熟练地运用它，并破译了它的习语和微妙之处，*终利用它的预测能力去重构世界。
这是本书的中心论点。
如果这个论点是正确的，那么它意味着关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案并不是42，为此我要向道格拉斯.亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”（《银河系漫游指南》中的一台超级计算机）的解题思路是正确的，因为宇宙的奥秘确实是一系列数学问题。
费曼的那句“微积分是上帝的语言”的妙语，引出了许多深奥的问题。什么是微积分？人类如何断定它是上帝的语言（或者说，宇宙基于这种语言在运转）？什么是微分方程？在牛顿的时代和我们的时代，微分方程为世界带来了什么？*后，这些故事和观点如何能被有趣且清楚易懂地传达给像赫尔曼.沃克那样的友善读者呢，他们勤于思考、充满好奇心、知识渊博但几乎没有学过高等数学？
沃克在他与费曼邂逅故事的结尾部分写道，他在14 年里始终没有抽出时间学习微积分。他的关于“二战”的长篇小说从原计划的一部变成了两部——《战争风云》和《战争与回忆》，每部都长达1 000 页左右。在完成这两部小说后，他试图通过阅读像《微积分一点通》这样的书自学微积分，但效果并不好。他翻阅了几本教科书，用他自己的话说，就是希望“遇到一本合适的书，它可以帮助像我这样对数学几乎一窍不通
的人。我在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求，大学期间就只学习了文学与哲学等人文学科，所以我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是上帝的语言”。在发现自己看不懂教科书之后，他聘请了一位以色列的数学家教，希望能跟着他学点儿微积分，顺便提升一下希伯来语口语水平，但这两个愿望都落空了。*后，绝望的他旁听了高中的微积分课程，但因为进度落后太多，几个月后他不得不放弃。在他走出教室时，孩子们一起为他鼓掌，他说这就像对一场可怜的表演报以同情的掌声。
我之所以写作本书，就是为了让每个人都能了解关于微积分的*精彩的思想和故事。我们没必要采用赫尔曼.沃克的方法去学习人类历史上这个具有里程碑意义的学科，尽管微积分是人类*具启迪性的集体成就之一。我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释我们需要了解的一切。我也会给你们介绍有史以来*
精致的一些方程和证明，就像我们在参观画廊的时候不会错过其中的代表作一样。至于赫尔曼.沃克，在我写作本书的时候，他已经103 岁了。我不知道他有没有学会微积分，如果还没有，这本书就很适合沃克先生。
现在你应该很清楚，我将从应用数学家的角度讲述微积分的故事和重要性。而数学史家则会选择不同的角度，纯粹数学家亦然。作为一名应用数学家，真正吸引我的是我们周围的现实世界和我们头脑中的理想世界之间的相互作用。外界的现象引导着我们提出数学问题；反过来，我们的数学想象有时也会预言现实世界中的事情。当这一切真正发生时，将会产生不可思议的效果。
要想成为一位应用数学家，既要有外向型思维，又要有广博的知识。对我们这个领域的人来说，数学并不是一个由自我附和的定理和证明构成的原始、封闭的世界。7 我们会欣然接受各种各样的学科：哲学，政治学，科学，历史，医学，等等。所以，我想给大家讲述的故事是：由微积分主宰的世界。
这是一种比以往更宽泛的微积分观，包含了数学和相邻学科中的许多分支，它们要么是微积分的“表兄弟”，要么是微积分的“副产品”。因为这种“大帐篷”观是非常规的，所以我要确保它不会造成任何混淆。比如，我在前文中说过，如果没有微积分，我们就不会拥有电脑和手机等，我的意思当然不是说微积分本身创造了所有这些奇迹。事实远非如此，科学和技术是必不可少的搭档，或者可以说是这出大戏的主角。我只想说，尽管微积分往往扮演的是配角，但也为塑造我们今天的世界做出了重要贡献。
以无线通信的发展史为例。它开始于迈克尔.法拉第和安德烈.玛那些关于磁体、电流及其不可见力场的重要事实将仍不为人所知，无线通信的可能性也永远无法实现。所以，实验物理学在这里显然起到了不可或缺的作用。
但是，微积分同样很重要。19 世纪60年代，一位名叫詹姆斯.克拉克.麦克斯韦的苏格兰数学物理学家，将电磁场的基本实验定律改写为一种可进行微积分运算的符号形式。经过一番变换，他得到了一个毫无意义的方程，显然有某种东西缺失了。麦克斯韦怀疑安培定律是罪魁祸首，并尝试修正它，于是他在自己的方程中加入了一个新项——可以化解矛盾的假想电流，然后又利用微积分做了一番运算。这次他得到了一个合理的结果——一个简洁的波动方程9，它与描述池塘中涟漪扩散的方程很像。只不过麦克斯韦方程还预言了一种新波的存在，这种波是由相互作用的电场和磁场产生的。一个变化的电场会产生一个变化的磁场，一个变化的磁场又会产生一个变化的电场，以此类推，每个场都会引导另一个场向前运动，一起以行波的形式向外传递能量。当麦克斯韦计算这种波的速度时，他发现它是以光速运动的，这绝对是历史上*令人惊喜的时刻之一。因此，他不仅利用微积分预测出电磁波的存在，还解开了一个古老的谜题：光的性质是什么？他意识到，光就是一种电磁波。
麦克斯韦的电磁波预测促使海因里希.赫兹在1887 年做了一项实验，从而证明了电磁波的存在。10 年后，尼古拉.特斯拉建造了**个无线电通信系统；又过了5 年，伽利尔摩.马可尼发送了**份跨越大西洋的无线电报。接下来，电视、手机和其他设备也陆续出现了。
显然，微积分不可能独立做到这一切。但同样显而易见的是，如果没有微积分，这一切就不会发生。或者更准确地说，即时有可能，也要很久之后才会实现。