概率论与数理统计教程

第1章 随机事件及其概率 概率论是研究随机现象规律性的数学分支学科.也就是说，首先，其研究对象是随机现象，对非随机现象，概率论没有用武之地.其次，其研究方法是数学的方法，用数学语言描述随机现象，用数学方法推导随机现象具有的规律性.以后我们会看到，随机变量(随机现象的数量化形式)及其概率分布是它*中心的概念，几乎所有的理论与推导都围绕它展开.但本章内容——随机事件及其概率，一方面是古典概率论的精华;另一方面也是现代概率论的基础.通过本章的学习，可为我们后续的学习打下坚实的基础. 1.1 随机事件 1.1.1 随机现象随机试验样本空间随机事件 什么是随机现象呢?这要从自然界存在的现象来分辨.自然界和人类社会中有一类现象，我们可以预言它在一定条件下是否会出现.例如，让重物自由下落必然是垂直下落;纯水在一个标准大气压下加热到100℃必然会沸腾.这种在一定条件下必然会发生的现象称为必然现象.反之，在一定条件下必然不会发生的现象称为不可能现象.例如，“同性电荷互相吸引”这种现象是不可能发生的.必然现象和不可能现象虽然形式相反，但两者的实质是相同的，即在一定条件下可以预言是否会发生.所有这类现象称为确定性现象. 但是，自然界中还存在着与确定性现象有着本质区别的现象.例如，抛一枚硬币，假定其不能直立，则可能正面朝上，也可能反面朝上;某地区在将来某一时刻可能下雨，也可能不下雨;向一目标进行射击可能击中目标，也可能击不中目标;等等.这些在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象. 下面，我们将随机现象的概念过渡到随机试验.在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.下面举出一些随机试验的例子. (1)抛一枚硬币，观察正面M、反面N出现的情况. (2)将一枚硬币抛掷三次，观察正面M、反面N出现的情况. (3)将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数. (4)抛一颗骰子，观察出现的点数. (5)记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼叫次数. (6)在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命. (7)记录某地一昼夜的*高温度和*低温度. 上面举出了七个试验的例子，它们有着共同的特点.例如，试验(1)有两种可能结果，出现M或者出现N，但在抛掷之前不能确定出现M还是出现N，这个试验可以在相同的条件下重复地进行.又如试验(6)，我们知道灯泡的寿命(以小时计)t.0，但在测试之前不能确定它的寿命有多长.这一试验也可以在相同的条件下重复地进行.概括起来，这些试验具有以下的特点: (1)可以在相同的条件下重复地进行; (2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果; (3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 但是，在现实世界中的某些随机现象，是不可以在相同的条件下重复地进行试验的，例如，某孕妇生产的时间，某只股票明天的价格等.不可以在相同的条件下重复地进行试验的随机现象的研究不包括在本书之列. 综上，我们可以给出随机试验的定义. 定义1.1.1 一个试验如果满足: (1)可重复性，可以在相同的条件下重复进行; (2)可观察性，其结果具有多种可能性，并且所有的可能结果是事先可以明确的; (3)不确定性，在每次试验前，不能准确预知将出现哪一个结果，则称这样的试验为随机试验，记为E. 例1.1.1 判断下面的试验哪些是随机试验? (1)抛掷一枚硬币观察出现的是正面还是反面; (2)观察汽油遇到火时的情况; (3)记录某电话传呼台在某段时间内接到的呼叫次数; (4)测试灯泡厂生产的灯泡的寿命; (5)一门大炮向目标射击一次，观察弹着点的位置; (6)连续抛掷两次硬币观察出现正面的情况. 解根据随机试验的定义我们可以判断，试验(1)，(3)，(4)，(5)，(6)均是随机试验.但是(2)中汽油遇到火时，必然会着火，不符合随机试验的概念. 随机试验的一个特点是试验结果不止一个，且可以预知所有可能结果.由此我们给出如下样本空间的定义. 定义1.1.2 把随机试验中每一种可能出现的、*简单的、不能再分的结果称为随机试验的样本点，用ω表示.而由全体样本点构成的集合称为样本空间，记为Ω. 样本空间是一个集合，根据样本点离散和连续，有如下典型分类. (1)(离散型样本空间)其特点是样本点至多可列个，包括有限个或无限可列个，表示为 Ω={ω1，ω2， ，ωn}或Ω={ω1，ω2，ω3， }; (2)(连续型样本空间)其特点是样本点无限不可列个，可表示为 (3)(混合型样本空间)具有前述两种特点的样本空间. 本书中只讨论前两类典型的样本空间.样本点也可直接用数字表示，只要明确其代表的样本点即可. 例1.1.2 几个典型的样本空间例子: (1)抛掷一枚硬币观察出现的是正面还是反面，Ω={ω正，ω反}; (2)抛掷一颗骰子，观察出现的点数，Ω={1，2，3，4，5，6}，都是有限集; (3)某电话传呼台在某段时间内接到的呼叫次数，Ω={0，1，2，3， }是无限可列集; (4)某地一昼夜的*高温度和*低温度，Ω={(x，y)|T0.x.y.T1}(x:*低温度;y:*高温度)是连续集. 在实际问题中，我们关心的常常不是某一个试验结果，而是满足某些条件的样本点所组成的样本空间子集.比如玩掷骰子游戏，规定大点是4，5，6点，小点是1，2，3点，那么对于玩家来讲更关心的是出现大点或小点，而不是某个具体的点数.所以，我们就有必要有如下定义. 定义1.1.3 把满足某些条件的样本点所构成的集合称为随机事件，简称事件，用英文大写字母A，B，C， 来表示.如果在一次试验当中，出现结果ω∈A，则称随机事件A发生，否则称它不发生. 通过引入集合概念，把随机事件当作样本空间的子集.凡是样本空间的子集都称为随机事件.样本空间Ω也是它本身的子集，称为必然事件，记号为Ω;在一次试验当中，不管出现什么结果，它必属于样本空间Ω，所以必然事件必定会发生.空集是任何集合的子集，不包含样本空间的任何样本点，它必然不会发生，称为不可能事件，记为 必然事件和不可能事件事实上都是确定性的，但在这里把它们当作随机事件的特殊情况.另外，称只有一个样本点所组成的集合为基本事件，记为{ω}，相应地，由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件. 读者可继续通过例1.1.1、例1.1.2理解上述这些概念. 1.1.2 随机事件的关系与运算 事件是样本点的集合，与集合的关系和运算相对应，接下来讨论事件之间的关系与运算.事件之间的关系与运算主要有如下几大类. 1.包含关系 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，或者事件B包含事件A，记作A.B或B.A.包含关系如图1-1-1所示. 例如，抛掷一颗质地均匀的骰子，观察出现的点数， “出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现4点”“出现5点”“出现6点”分别用1，2，3，4，5，6表示，即有6个样本点，因此该试验的样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}.若令A={1，3，5}，即“出现奇数点”;令B={1，2，3，4，5}，即“出现不超过5的点”.显然有A.B，即若事件“出现奇数点”发生必然有事件“出现不超过5的点”发生. 图1-1-1 2.相等关系 如果事件A，B满足关系A.B且B.A，则称事件A，B相等，这意味着事件A，B本质上是同一事件，记作A=B. 3.事件的和 两个事件A，B至少有一个发生，即“或者A发生或者B发生”，这样的事件称作事件A，B的和事件，记作A∪B，如图1-1-2所示. 仍然以抛掷一颗质地均匀的骰子为例，若将事件“出现奇数点”记作A={1，3，5}，将事件“出现大点”记作B={4，5，6}，则A∪B={1，3，4，5，6}. 类似地，称“n个事件A1，A2， ，An至少有一个发生”为事件A1，A2， ，An的和事件，记作 如果并列的事件Ai有无穷多个，则称“无穷多个事件A1，A2， ，An， 中至少有一个发生”为无穷多个事件A1，A2， ，An， 的和事件，记作 4.事件的积 两个事件A，B同时发生，这样的事件称作事件A，B的积，记作A∩B或AB，如图1-1-3所示. 图1-1-2 图1-1-3 仍然以抛掷一颗质地均匀的骰子为例，若将事件“出现奇数点”记作A={1，3，5}，将事件“出现大点”记作B={4，5，6}，则A∩B={5}. 类似地，称“n个事件A1，A2， ，An全部发生”为事件A1，A2， ，An的积，记作如果并列的事件Ai有无穷多个，则称“无穷多个事件A1，A2， ，An， 全部发生”为无穷多个事件A1，A2， ，An， 的积，记作. 5.互不相容事件 两个事件A，B不可能同时发生，即A∩B=.，则称作事件A，B为互不相容的事件或互斥事件，如图1-1-4所示. 仍然以抛掷一颗质地均匀的骰子为例，若将事件“出现奇数点”记作A={1，3，5}，将事件“出现2，4点”记作B={2，4}，则A∩B= 即事件“出现奇数点”与事件“出现2，4点”为互斥事件. 6.对立事件 两个事件A，B有且仅有一个发生，也就是说如果事件A发生则事件B必然不发生或者. 如果事件A不发生则事件B必然发生，即A∩B=.且A∪B=Ω，则称事件A，B互为对立事件或互逆事件，记作B=A或A=B，如图1-1-5所示. 图1-1-4 图1-1-5 仍然以抛掷一颗质地均匀的骰子为例，若将事件“出现奇数点”记作A={1，3，5}，将事件“出现偶数点”记作B={2，4，6}，则A∩B=.且A∪B=Ω.即事件“出现奇数点”与事件“出现偶数点”为互逆事件. 7.差事件 在两个事件A，B中，如果事件A发生且事件B不发生，将这样的事件称作事件A，B的差，记作，如图1-1-6所示. 仍然以抛掷一颗质地均匀的骰子为例，若将事件“出现奇数点”记作A={1，3，5}，将事件“出现不超过4的点”记作B={1，2，3，4}，则A.B=A∩B={5}.即事件A.B表示事件“出现点5”. 8.完备事件组 n个事件A1，A2， ，An，如果这n个事件两两互不相容且，则事件组A1，A2， ，An称为Ω的一个完备事件组，或称A1，A2， ，An为样本空间Ω的一个有限划分;若无穷多个事件构成的事件组A1，A2， ，An， 中所有事件两两互不相容且∞[i=1Ai=Ω，则也称无穷多个事件构成的事件组A1，A2， ，An， 是样本空间Ω的一个完备事件组，或称事件组A1，A2， ，An， 是样本空间Ω的无限划分.如图1-1-7所示. 图1-1-6 图1-1-7 1.1.3 事件的运算性质 性质1.1.1 容易证明: (1); (2)若，则; (3); (4); (5). 性质1.1.2 既然事件的关系与运算和集合的关系与运算相对应，那么同集合运算相一致，事件之间的运算满足如下性质: (1)(幂等律)A∪A=A