走进教育数学 :绕来绕去的向量法

第1章 漫谈向量 1.1 向量和标量 在日常生活中，我们会接触到各种各样的量，这些量可分为两类.一类量在取定基本单位后，只用一个实数就可以表示出来，例如长度、面积、温度、质量等，这样的量称为标量或是数量.还有一类量，除了有大小外，还有方向，通常把这种既有大小又有方向的量叫作向量或矢量，例如速度、加速度、力、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量. 凡事从*简单的情形开始想，就容易理解.数轴上的有向线段，也是有大小有方向的，也是向量.尽管只有两个方向，总不能说没有方向吧？有向线段的终点坐标减去起点坐标，得到一个实数，实数的绝对值就是它的大小，实数的符号表示它的方向.这样看，实数也是向量，叫一维向量.标量和向量的划分是物理和工程中的概念.数学中严谨地说，标量也是向量，只是维数不够高而已. 从有向线段出发考虑，便会看到：向量的相等、向量的加法、向量的数乘、向量的模等等，都保持了有向线段原来的性质. 向量又可分为两种. 当某个向量被确定之后，它的大小和方向随之确定.反之，当向量的大小与方向都给定之后，是否能完全确定它的位置呢？不是的，因为向量的起点尚未确定，只有再确定起点（或终点）的位置，它才能真正确定下来.譬如物理学中的力，除了大小、方向之外，还要考虑作用点.通常把这种对大小、方向和起点都确定的向量称为固定向量. 还有一类向量（如位移、速度等），只关心大小和方向，根本不考虑起点位置.通常把这种大小、方向确定，起点不确定的向量称为自由向量.也就是说，凡是大小相等、方向相同的向量，我们都可以将之看作是相等的向量. 中学教学中谈起向量，关心的是向量起点、终点的相对位置，并不太关心向量起点的绝对位置.原因何在？因为向量平移满足自反性、对称性、传递性，即满足等价类的要求.在等价类中，所有向量是可以看作彼此不加区分的，即类中任一向量都有资格派出作为代表.如果硬是要用起始点将等价类中的各个向量加以区分，那么向量之间的相互转化就成了麻烦，向量的运算将成为空谈. 举个简单例子吧.军训时，教官让学员向前五步走.虽然每个学员的初始位置不相同，但他们的位移是一样的.如果限定起点的话，那么教官要对每一个学员分别下命令，多麻烦啊！ 本书所讨论的向量均指自由向量.数学里提到向量，如果没有特别说明，均指自由向量. 1.2 向量小史 向量*早出现在物理学中，其起源与发展主要有三条线索:物理学中的速度和力的平行四边形法则、复数的几何表示和位置几何. 早在公元前350年前，古希腊学者亚里士多德（Aristotle）在进行力学研究时发现：作用在物体同一点上的两个力，其实际效果不是两个力大小的简单相加，而是遵循平行四边形法则. 图1-1 如图1-1，假设有两个力F1和F2同时作用在物体的A点，F1和F2的方向分别为从A至B和从A至D，F1和F2的大小分别等于AB和AD的长度，若以AB和AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线AC表示力F1和F2的合力的大小与方向.这就是平行四边形法则，也就是向量的加法AB+AD=AC.根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB+BC=AC，此称为向量的三角形法则. 对于三角形法则，我们可以这样理解：甲、乙二人刚开始都在A位置，乙直接来到C位置，而甲却先到B位置办事，然后赶往C位置与乙会合.二人行走路线虽不同，但从效果上来看，都是从A到了C.中国古代数学名著《九章算术》（《九章算术》成书于何时众说纷纭，多数认为在公元一世纪前后）中就有这么一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而邪(通斜)东北与乙会.问甲乙行各几何？”原解答是用勾股定理，而我们也可以利用“效果相等”来列方程解答，这暗示向量法和三角形问题有着天然联系. 进一步地，可以将三角形法则拓展到多边形法则：AB1+B1B2+ +BnC=AC.关注初始状态和*终状态，中间的过程不影响等式的成立，这就给了我们发挥的空间.而这也正是本书中将要反复使用的向量回路. 向量与平行四边形有着如此天然的联系.联系平行四边形对理解向量的性质有很大的帮助.例如在图1-1中，AC=AB+BC=AD+DC，是不是暗示向量加法满足交换律呢？进一步思考，是不是其中还暗藏着平面向量的基本定理呢？另外，也提示我们用向量法解平行四边形问题有着独特的优势. 向量的平行四边形法则是如此重要，以至于有人提议向量应该如下定义：既有大小又有方向，且满足平行四边形法则的量叫作向量.理由是：数学中给出一个定义之后，一定能够推导出被定义对象的种种性质.例如，由平行四边形的定义——有两组对边分别平行的四边形，则可推出两组对边分别相等，对角线互相平分等性质.如果仅仅以“有大小和方向的量就是向量”作为向量的定义的话，如何能够推导出平行四边形法则？ 向量的起源虽早，但发展却很缓慢.从数学发展史来看，发现向量的平行四边形法则之后的两千多年中，向量理论几乎没什么发展，直到复数的几何解释的出现才改变了这一状况.在这两千多年中，不少数学家都曾经使用过向量的平行四边形法则解决问题，譬如海伦（Heron）、伽利略（Galileo）、牛顿（Newton）等. 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.1797年，挪威数学家维塞尔（Wessel）提出了复数的几何解释.如图1-2建立坐标平面，对于每一个复数z=a+bi都可以在平面上找到点Z(a，b)，而以O为起点Z为终点的有向线段OZ称为z=a+bi的对应向量.复数的几何表示就是：任一复数都可以与复平面上的一个点或一个向量（以坐标原点为起点）一一对应.数学王子高斯（Gauss）在这方面做出过贡献，以至于人们常常把这样的平面称为高斯复平面. 图1-2 复数的几何表示的提出，既使得“虚幻”的复数有了实际的模型，不再虚幻；又使得人们在逐步接受复数的同时，学会利用复数来表示和研究平面中的向量，向量从此得到发展.复数使向量代数化，但复数所能描述的向量只能是2维的，而人类所生存的空间是3维的.于是人们开始寻找“3维复数”，但始终没有找到.直到1843年，英国数学家哈密顿（Hamilton）舍弃了乘法交换律，创造了所谓的“四元数”.再到后来，数学家们将向量作为一门独立的数学分支进行研究，使向量的运算从*基本的平行四边形法则扩展到内积和外积，向量的存在空间也从平面到空间，再到现实世界中并不存在的n维空间.由于四元数以及其后的发展与中学所讲向量并无太大关系，本书在此略过. 位置几何是向量理论的又一个重要思想源泉，下面给出简略介绍，希冀有助于帮助读者理解向量.微积分的创始人之一莱布尼茨（Leibniz）试图创造一种新的几何学：位置几何.但他只给出了一个框架.莱布尼茨在1679年9月8日写给惠更斯（Huygens）的一封信中阐述了他对位置几何的看法：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质.代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动.因此，利用代数运算来分析一个图形的特点是很困难的，即使利用完整的代数运算，去寻找方便的几何证明和构造更为困难.我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明.但是它的主要价值存在于可操作的推理中，存在于利用它的特点通过运算能得出的结论中.这个特点在图形里不能表达出来.它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多的点和线.相比而言，这种新方法确实能指导我们，使我们不用费力.我相信通过这个方法，人们可以像处理几何一样处理力学，甚至检验材料的质量，因为这些对象能注意到的部分通常取决于某些图形.*终，如果我们已经发现了一些这样简便的方法去减轻创造力的负担，我们可能会在物理中得到更多的结果”. 莱布尼茨虽然看到了他所设想的新代数将在数学和物理上有许多应用，但可惜的是他没有为此而创造出一种实际有效的方法.之后，德国数学家格拉斯曼（Grassmann）的工作把莱布尼茨构思的系统的几何特征带到现实中来，从而表明莱布尼茨的思想并不是一个梦！其实，格拉斯曼在听说莱布尼茨的思想之前就已经创造了类似的一个系统，他与莱布尼茨的目的总体来说是相同的，他们都想通过固定的法则去建立一个方便计算或操作的符号体系，并由此演绎出用符号表达的事物的正确命题.而且，他们也都希望发现一个同时具有分析和综合特点的几何，而不像欧几里得几何与笛卡儿(Descartes)几何那样分别只具有综合的与分析的特点.如今的向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算；向量解题在一定程度上摆脱了辅助线. 以上向量的历史，部分引自博士论文《向量理论历史研究》(孙庆华，2006)，对此有兴趣的读者可查阅原文. 1.3 向量名词的演变 向量这一术语*早为英国数学家哈密顿使用，他也是**个用“向量(vector)”表示有向线段的数学家.“vector”的词根源自拉丁词“vehere”，意思是“携带”(这个拉丁词的过去分词是vectus)，其含义隐含着将某物从此处带到彼处的意思.向量在中国的传播过程中，曾有过多种译法，譬如有向数、有向量、方向量等.时至今日，一般物理学界称之为矢量，数学界称之为向量. 有文章花费大量篇幅来论述向量与矢量的区别.但在我们看来，向量和矢量是同一个事物的不同名称，两者之间的区别要小于母亲和妈妈的区别.下面这篇短文就讲述了术语的变迁(朱照宣，2008). 矢量就是向量 (朱照宣) Vector，物理界叫“矢量”，数学界叫“向量”.能不能统一?网上甚至有人问，两者在含义上是否有所差别？其实，在历史上，数学界曾把vector定名为“矢量”，而物理界曾把它定名为“向量”.后