数字、代数和图象(全彩)

数学的起源是数字，那么数字仅仅是用来比较事物大小的吗？随着对数学认识与理解的不断加深，人们发现数字和计数法在社会的发展历程中扮演着重要的角色。 几乎每个人的数学**课都是从学习数字开始的，而学习的方式往往是数数。数数时，一般从数字1开始，它代表单个事物，是一个非常特别的数字。它所代表的单个事物既可以是一个人、一个星球，也可以是一个星系。这些事物的大小可能相差悬殊，但我们实际上只是在数其中的一个。其他所有的整数都由数字1的集合构成：2是两个1，3是三个1，以此类推。 自然能力 通过不断地加1，数字将变得越来越大，这是显而易见的。实际上，数数如此简单，简单到连动物可能也会，至少很多动物能数到不是很大的数。当然，这里所谓的数数，不是指简单地区分多少。很多动物都具备简单区分多少的能力，例如，鱼总会选择加入数量*多的鱼群。然而，数数是基于各种动物在其记忆中如何为固定数目的事物留出空间的。例如，蜜蜂在觅食时可以记住多达4个地标。当地标数超过4时，它们要么选择忽略新出现的地标，要么选择忘记先前记住的某个地标。因此，觅食中的蜜蜂可以从1数到4，其他包括狮子和鸡在内的多种动物也能按照类似的方式数数。 动物的数数能力也可以进一步培养发展，例如，在试验中，经过训练的猴子几乎可以数得跟人类一样好。 学习计数 人类进行简单计数的方式与其他动物无异。我们无须主动地把数字读出来或思考就可以进行计数。人类的大脑能够瞬间识别出2个、3个或4个事物。如果数字大于4，那么大脑就会做较小数字的加法，如数字5是由2和3相加构成的。当数字大于7时，大脑将无法进行“本能”的数学计算，此时大脑中的数字将不再那么精确。这时我们看到的事物将有“好几个”，而不是一个精确的数。 在古代，特别是随着农业等产业的技术发展，人们发现，有必要像对小数字一样对大数字进行精确的计数。例如，主人想确认一天早晚两个时间点牲畜的数目是否相同。对于史前人类究竟是如何发展出大数字的计数方式的，目前并无定论，但基于如今我们所了解的知识，有几种理论是站得住脚的。 一种就是利用双手的手指。我们一共有10根手指，当代的计数法使用十进制绝非偶然。如果人类有8根或12根手指，那么计数法可能就会有所不同。利用手指进行计数的问题在于，10就是计数的上限。 另一种可能是利用石头堆。早晨牲畜外出觅食时，主人用一块石头代表一只牲畜，然后将石头堆成一堆。当夜晚牲畜回来时，主人看到一只牲畜回来就从石头堆中拿走一块石头，*后石头堆中剩下石头的数目就是那些走丢的、该去寻找的牲畜的数目。 在利用石头堆的计数法中，石头就是现实世界中使用的计数记号。如果主人手头有一根木头或骨头可供他刻线（当然有纸、笔就再好不过了），那么他就可以为每一只牲畜在木头或骨头上刻一根水平或竖直的线，用来表示牲畜的数目。这种刻线就是以文字写成的数字的原始形态。 当数字记号超过5时，这种计数法将不再那么容易被使用，因为人们很难一眼认出记号的准确数目。此时，人们使用其他特殊的记号来代表更大的数字，例如3个、5个或10个。将3组代表10个的记号相加显然比从1数到30要简单得多。世界上的许多数字记号就是按照这种方式不断演化的，例如古印度、古埃及或中国古代所使用的数字记号即是如此，数字记号经过不断演化*终形成了如今我们所使用的样式。 古巴比伦数字 目前已知*早的书写数字来源于美索不达米亚平原（当今的叙利亚和伊拉克地区）。美索不达米亚平原上的人们*早将数字记号刻在石头、骨头或木头上，作为某些数字的永久记录。当然，数字总是不断变化的。为此，后来的美索不达米亚人不再使用数字记号，而使用用黏土手工塑造并在窑中加热硬化而成的小型陶瓷球来记录数字。一个小陶瓷球代表一个事物，如一只羊；两个小陶瓷球代表两只羊，以此类推。当数到五只羊时，就用一个大球来表示。这些可以追溯到7000年前的记号据说是人类首个数据存储系统。在大约5500年前，这种计数法被楔形文字和数字所取代，后者是这一时期的美索不达米亚人所使用的书写体系。当时的人们利用芦苇等植物的茎部在湿黏土中所制成的表格上记下楔形文字和数字。起初，楔形数字形似摁在黏土上的圆形记号。随后，写字用的芦苇变成了楔子的形状，更利于书写复杂的记号。 大约3000年前，当时的美索不达米亚平原被古巴比伦王朝所统治，而楔形数字也*终演变成了楔形记号。每个楔形记号都是用楔子挖一下的结果。这些楔形记号一排排地排列，每一排*多可表示数字9。 数字10 用由楔子挖两下得到的另一种记号来表示。数字11由一个数字10的记号旁加一个数字1的记号来表示，数字22由两个数字10的记号旁加两个数字1的记号来表示，以此类推，直至数字59。古巴比伦人用10和60为基底来计数，这背后的原因待后续介绍。数字60仍用数字1的记号来表示，只是其位置移至左侧。因此，数字61由两个数字1的记号表示，只是两个记号之间以空白隔开。