高等数学基础教程

第1章 函数Functions 微积分研究的主要对象是函数，使用的主要工具是极限，研究问题所使用的主要方法是分类、类比，具体的内容就是通过极限这个工具把函数进行分类(无穷小类、无穷大类、连续类、可导类、可积类等).它与初等数学所研究函数的重要区别是：初等数学研究的大多都是具体函数的具体性质，如研究函数的单调性、奇偶性、周期性等，而微积分所研究的大多都是抽象函数的抽象性质，如连续性、可导性、可积性等. 古典数学与现代数学讨论问题的重要区别之一是，古典数学主要是在数集上讨论问题，而现代数学主要是在一般的集合上讨论问题，所以为了便于把古典数学的思想方法推广到现代数学上去，并且准确而深刻地理解函数概念，集合知识是不可缺少的.本章将简要地介绍集合的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数的概念. 1.1 集合——微积分的基础，数学大厦的基石 1.1.1 集合 1.集合的概念 集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由德国数学家康托尔(Cantor，1845—1918)在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的数学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.可以说，当今数学各个分支的几乎所有结果都构筑在严格的集合论理论上.所以，学习高等数学，应首先从集合入手. 所谓集合(set)(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体.组成集合的各个对象称为该集合的元素(element). 习惯上，用大写字母A，B，C， 表示集合，用小写字母a，b，c， 表示集合的元素.用a∈ A表示a是集合A中的元素，读作“a属于A”；用aA (或a∈A)表示a不是集合A中的元素，读作“a 不属于A”. 例1.1.1 某学校全体男同学组成一个集合A，而该学校的每个男同学是集合A 的元素. 例1.1.2 方程x2-2x-3=0的所有实根构成一个集合B，而方程的每个实根是集合B 的元素. 例1.1.3 全体偶数组成一个集合E，而每个偶数是集合E 的元素. 例1.1.4 圆周x2+y2=9上所有的点构成一个集合C，而圆周上的点是集合C的元素. 含有有限多个元素的集合称为有限集(finite set)，如上述例题中的集合A，B；含有无限多个元素的集合称为无限集(infinite set)，如上述例题中的集合C，E.不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作. 2.集合的表示方法 表示集合的方法通常有两种.一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内.例如，所有正整数组成的集合可以表示为N，则N 可以表示为 另一种是描述法，这种方法是用集合元素所具有的共同性质来刻画这个集合，即将具有性质P的元素x 所组成的集合A 表示为A ={x|x具有性质P}. 例如，正整数集N 也可表示成N ={n|n是正整数}； 所有实数组成的集合可表示成R ={x|x为实数}. 又如例1.1.4中集合C 可以表示为 C ={(x，y)|x2+ y2=9，x，y为实数}. 1.1.2 集合的运算 1.集合的运算 (1)对于集合A和B，若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈ B，这时就称A是B的一个子集(subset)，记作A B，读作“A 含于B”(或“B包含A”).若A B，且存在① b∈ B ，使得b A，则称A是B的一个真子集(proper subset)，记作*(图1-1). 规定：*是任何集合A的子集，即*. 全体自然数的集合、全体整数的集合、全体有理数的集合、全体实数的集合和全体复数的集合都是*常遇到的集合，我们约定分别用粗体字母N，Z，Q，R和C来表示这些集合，即N表示全体自然数的集合； Z表示全体整数的集合； Q表示全体有理数的集合； R表示全体实数的集合； C表示全体复数的集合. 我们还把正整数、正有理数和正实数的集合分别记为Z+，Q+和R+，显然有和. 图1-1 若AB且BA，则称集合A，B相等(equality of sets)，记作A=B .此时A中的元素都是B 中的元素，反过来，B 中的元素也都是A中的元素，即A，B 中的元素完全一样. (2)设A，B是两个集合，称{x | x∈ A或x∈B}为A与B的并集(union set)，记作A∪B，即 A∪B ={x|x∈A或x∈B}. 它是将A 和B 的全部元素合起来构成的一个集合(图1-2). (3)称{x x∈ A 且x∈B}为A 与B 的交集(intersection set)，记作A∩B，即A∩B ={x|x∈A且x∈B}. 它是由A与B 的公共元素构成的一个集合(图1-3). (4)称{x|x∈A 且xB}为A与B的差集(difference set)，记作A- B，即A-B ={x|x∈A且xB}. 它是由A中那些属于A 但不属于B 的元素构成的一个集合(图1-4). 图1-2 图1-3 图1-4 例1.1.5 设A={x|-1　　2.集合运算的性质 (1)交换律 A∪B=B∪A， A∩B=B∩A . (2)结合律 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C， A∩(B∩C)=(A∩B)∩C . (3)分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). (4)幂等律 A∪A=A， A∩A=A. (5)吸收律*若AB，则A∪B=B，A∩B=A. 特别地，由于A∩B A A∪B，所以有A∪(A∩B)= A，A∩(A∪B)= A . 1.1.3 区间与邻域 1.区间(interval) 在本教程中经常遇到以下形式实数集的子集——区间.为了书写简练，将各种区间的符号、名称、定义列表如下：( a，b∈R且a　　2.邻域(neighborhood) 设a∈R，δ>0.数集{x|x-a|　　数集{x 00且x 4}， N ={x | x 1；(3)(x-1)(x +2)<0；(4)0< x +1<0.01. 1.2 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型 在一个自然现象或技术过程中，常常有几个量同时变化，它们的变化并非彼此无关，而是互相联系着，这是物质世界的一个普遍规律.17世纪初，数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了函数这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置. 1.2.1 函数的概念 1.函数定义 定义1.2.1设非空数集D R，若对任意的x∈D，按照某种确定的法则f ，有唯一确定的y ∈R 与之对应，则称f 为定义在D 上的函数(function)，记作f:D→R，或* 其中x 称为自变量(independent variable)，y 称为因变量(dependent variable)，D 称为函数f的定义域(domain of definition)，函数f 的定义域常记作f D (或D( f )).对于任意的f x∈D ，称其对应值y为函数f 在点x处的函数值(functional value)，记作f (x)，即y=f (x).全体函数值构成的集合称为函数f 的值域(domain of value)，常记作f (D)(或f R )，即* 关于函数概念的几点说明： (1)用符号“ f :D→R ”表示f 是定义在数集D上的函数，十分清楚﹑明确.在本书中，为方便起见，我们约定，将“ f 是定义在数集D上的函数”用符号“ y=f(x)， fx∈D ”表示.当不需要指明函数f 的定义域时，又可简写为“ y=f(x)”，有时甚至笼统地说“ f( x )是x 的函数(值)”. (2)根据函数定义，虽然函数都存在定义域，但常常并不明确指出函数y=f (x)的定义域，这时认为函数的定义域是自明的，即定义域是使函数y=f(x)有意义的实数x 的集合D ={x f(x)∈R}.例如函数f (x)=1-x2 ，没有指出它的定义域，那么它的定义域就是使函数f(x)=1- x2有意义的实数x的集合，即闭区间* 具有具体实际意义的函数，它的定义域要受实际意义的约束. (3)函数定义指出：x∈ D ，按照对应法则f ，对应唯一一个y∈R ，这样的对应就是所谓的单值对应.反过来，一个f y∈R 就不一定只有一个x∈D，使y=f (x).例如函数y=sin x .x∈R ，对应唯一一个y=sin x∈R ，反之，对y =1，有无限多个*按照对应关系y=sinx都对应1.即* (4)在函数y=f (x)的定义中，要求与x值对应的y值是唯一确定的，这种函数也称为单值函数(single valued function).如果取消唯一这个要求，即对应于x 值，可以有两个以上确定的y 值与之对应，那么函数y=f(x)称为多值函数(multiple valued function).例如函数*是多(双)值函数. 为了讨论的方便起见，我们总设法避免函数的多值性.在一定条件下，多值函数可以分裂为若干单值分支.例如，双值函数*就可以分成两个单值支：一支是不小于零的*，另一支是不大于零的*.我们知道方程*的图形是中心在原点、半径为r的圆周，这同时也就是双值函数*的图形.两个单值支就相当于把整个圆周分为上、下两个半圆周.所以只要把各个分支弄清楚，由各个分支合起来的多值函数也就了如指掌了.本书若无特别声明，所讨论的函数都限