电磁学与电动力学习题解答

《电磁学与电动力学（上册）（第二版）》习题解答 第1章 真空中的静电场 1.1 把总电量为的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，己知，引力常数，地球质量为，月球质量为． (1)求的*小值； (2)如果电荷分配与质量成正比，求． 解 (1)设地球上带电，月球上带电，由题意由不等式，可求得的*小值 (2)记，则 于是有，即 1.2 真空中有一点电荷固定不动，另一质量为、电荷为的质点，在它们之间的库仑力的作用下，绕做匀速圆周运动，半径为，周期为：证明： 证 设质点速度为，则根据牛顿第二定律，由库仑力提供质点圆周运动的向心力，即，于是有，证毕． 1.3 有三个点电荷，电量都是，分别固定在边长为的正三角形三个顶点，在这三角形中心，有一个质量为，电量为的粒子， (1)证明：这个粒子处在平衡位置（即作用在它上面的库仑力为零）； (2)求这粒子以为中心沿一轴线（该轴线过并与三角形的平面互相垂直）作微小振动的频率． 解 (1)处在正三角形中心点的负电荷，受三个顶点正电荷的引力大小相等，均为，为点至顶点间的距离，三个力均指向顶点，两两夹角均为，合力为零． (2)过点作轴，与三角形所在平面垂直，当粒子在处时，三个点电荷对粒子的引力沿轴方向的分量为 沿垂直于轴方向的分量为．于是粒子沿轴的作微振动的运动方程如下： 上式表明，粒子作简谐振动，角频率．于是 1.4 电量为的两个点电荷，相距，在其连线的中垂面上放一点电荷，求证该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆，并给出该圆的半径， 解 设位于中垂面上的点电荷离连线的距离为，则由题义，所受合力与中垂面平行，且与连线垂直，其大小为．当时，取极值，即 由上式可解得，容易验证，该极值为极大值，这说明，点电荷在中垂面上受力极大所在位置的轨迹为一个半径为的圆． 1.5 习题1.5图中的和都己知，这样的四个点电荷称作平面电四极子，图中点与电四极子在同一平面内，它到电四极子中心的距离为，与正方形的两边平行． (1)求点的电场强度; (2)当时， 解 (1)建立坐标系如图1.5a所示，图中用a、b、c、d标记四个点电荷的位置，点a、c两处点电荷在点合电场的方向沿轴负向，表达式为 习题1.5图 图1.5a b、d两处点电荷在点合电场的方向沿轴正向，表达式为 于是，点的总电场为 (2)当时 1.6 如习题1.6图所示，电荷分布在半径为的半圆环上，线电荷密度为人，人为常数，为半径佃和直径间的夹角，证明AC上任一点的电场强度都与AC垂直， 习题1.6图 图1.6a 证 设为直径上任一点，到环心的距离为，如图1.6a所示，要证明点的垂直于，只需证明沿方向的分量为零即可. 设环的半径为，则处弧元上的电荷量为，它在点产生的电场强度的大小为 式中，是到的距离，其值为，沿方向的分量为 式中 其中用到不定积分公式 和互抵，电场切向分量，亦即垂直于，证毕． 1.7 一无限长均匀带电导线，线电荷密度为，一部分弯成半圆形，其余部分为两条无穷长平行直导线，两直线都与半圆的直径垂直，如习题1.7图所示，求圆心处的电场强度， 习题1.7图