小学数学整体设计的思与行——小学乘法教学

乘法作为四则运算中*基本的运算之一，既是对加法的优化，同时也体现了数学抽象的基本特征。一般地，我们会把乘法称为“求几个相同加数和的简便运算”，这种乘法概念在本章中我们称为乘法的基本意义。从乘法基本意义出发还可以延伸出新的乘法意义，在小学阶段主要有两类。**类是在“倍的认识”时延伸出新的乘法意义：“一个数的几倍是多少”和“一个数的几分之几是多少”，统称为“倍（率）的认识”背景下的乘法基本意义的延伸。第二类是由“长方形面积计算”延伸出的乘法意义，在长方形面积计算中出现的两个长度（长与宽）相乘得到的积表示的是面积，得到了一个新的计量单位，形成了乘法的几何意义。 因此，我们发现小学乘法意义并没有想象的那么单一，具有非常丰富的内涵。如果教师不能够搞清楚其内在联系与本质区别，在解决具体问题时，概括乘法意义下的各类数量关系就会有各种困惑或困难。 本章以人教版小学数学教材相关内容的梳理与分析为研究基础，首先对小学乘法基本意义进行梳理，指出需要完善之处，并形成改进后的乘法基本意义的教学思路。在此基础上，再对乘法的延伸意义进行梳理分析，以沟通与基本意义之间的关系，从而形成更加合理的学习路径。 ———————————————————————————————— “多位数乘一位数”是“乘法”大概念下的第二轮学习。相较于**轮，“计算”由表内乘法提升为表内乘法与20 以内加法的综合运用，由口算学习转化为口算、估算、笔算、速算等多种运算的相互结合与合理选择。解决问题分为估算解决问题与归一、归总问题，其中估算解决问题作为口算的应用，并入计算之中。归一、归总问题与本单元的计算相比，相对独立，且又是之前学习的乘法与除法数量关系的组合，需要依据情境表述中的关键词，发现两个数量关系中的不变量，组合新的数量关系。综合以上分析，如何探寻计算中的口算、估算、笔算、速算等多种计算形式的相互关系并有机组合？如何让学生把握归一、归总问题的结构特征，初步感知函数思想？这是本单元在整体设计时需要解决的两个问题。 ———————————————————————————————— “两位数乘两位数”是人教版教材三年级下册的内容，在整套教材的乘法学习体系中，则是其中的第四个单元。本单元包括乘法口算、笔算两个乘法计算的内容和连乘、连除两类解决问题。就乘法计算而言，重点学习“两位数乘两位数”的笔算，它可以看成求两次“两位数乘一位数积”的和，算理是相应的乘法意义，法则是求两个分步乘法笔算积之和。连乘、连除解决问题则可以看成有联系的两个乘法或除法解决问题的组合，是乘法与除法意义的再认识与再应用。分析教材，乘法口算分为“一次进位”的两位数乘一位数和“不进位”的两位数乘整十数两个部分，可以看成“两位数乘两位数”笔算的学习基础。但是，口算与笔算在计算思路与计算方法上有着明确的区别。因此，需要从整体设计的视角更好地处理“口算”与“笔算”的关系。连乘、连除解决问题有着密切的联系，但是教材把它们分成两个例题，创设两个情境进行教学，很难让学生直观感知到两者在数量关系上的互逆性，可以进行合理整合。 ———————————————————————————————— 把“面积”这一单元纳入“乘法”的整体设计之中，其目的主要有以下三个方面。首先是完善乘法的意义：结合具体例子，逐步揭示长方形、正方形面积计算公式中的乘法意义与乘法的基本意义有着本质的区别，是乘法基本意义在“面积模型”下的延伸。其次是解释面积单位间的进率是由两个长度单位间的进率相乘得到的：利用长方形、正方形面积计算公式，分别用两种不同的长度单位计算出同一个图形的面积，回顾推算过程，用长度单位间的进率相乘推算出面积单位间的进率，让学生感知积的变化规律。*后是提炼长方形、正方形中周长与面积的变与不变中的本质特征：两个数的“和”与“积”中的变与不变分别对应于“周长”与“面积”中的变与不变，体现图形变化与乘法计算结果之间的内在联系。 ———————————————————————————————— 小数乘法是整数乘法的延伸，且小数与整数都是十进位值制计数法，因此无论是意义、计算法则还是解决问题，小数乘法都与整数乘法有着十分密切的联系。首先，小数乘法的意义与整数乘法的意义完全一致，即“几个几”“一个数的几倍”与“长方形、正方形的面积计算”；其次，小数乘法中计算的关键是“看成整数乘法”，即转化成整数乘法后乘得积，再还原出小数乘法的积；*后，解决问题的数量关系与整数乘法完全一致，只是由于小数乘法的特殊性，可以灵活地处理积——取积的近似数，也可以“加工”因数——估算得数。 ———————————————————————————————— “分数乘法”是把“乘法”作为大概念的单元整体设计的*后一个单元。因此，本单元的学习不仅需要关注单元内部的整体设计，更要回顾乘法学习中积累的数学知识、技能、思想方法与活动经验。在对教材分析时，需要尽可能地把握教材体现出的乘法结构体系，以及可以补充完善之处；不仅探究新知在原有知识基础上的生长点，更要把新旧知识进行贯通，实现基于“乘法”背景下的“分数乘法”单元整体设计。同时，还要关注“分数”在“分数乘法”单元整体设计中的价值，甚至可以把“分数乘法”定义为“分数的再认识”，即“求一个数的几分之几”就是“把一个数‘平均分（分母）’后，表示‘这样的几份（分子）’是多少”，也就是三年级“分数初步认识”单元中“分数简单应用”的再认识。