线性系统动态补偿理论/山西大学建校120周年学术专著

第1章有限维系统预备知识 　　1.1有限维系统基本概念 　　设X，U和Y是Hilbert空间.考虑线性系统 　　（1.1.1） 　　其中是系统状态，是控制输入，是观测输出;和分别称为状态空间，控制空间和输出空间;线性算子和分别称为系统算子，控制算子和观测算子，满足 　　（1.1.2） 　　系统（1.1.1）由算子A，B和C完全决定，因此通常简记为（A，B，C）.当X，U和 　　Y都是有限维线性空间时，系统（A，B，C）称为有限维系统.本章研究的系统都是有限维系统. 　　对任意的和，解系统（1.1.1）中的常微分方程可得 　　（1.1.3） 　　其中 　　（1.1.4） 　　由 　　（1.1.5） 　　可得，因此，级数（1.1.4）总是收敛的，从而（1.1.3）有意义.此时，系统的输出可以表示为（1.1.6） 　　1.1.1可观性 　　在实际问题中，测量输出的选择要考虑多种因素.在理论上，测量信号应该包含系统的状态信息，这是设计状态观测器的必要条件.1960年，Kalman从理论上提出了这一问题，并引入了系统可观性的概念.可观性不但可以反映输出信号中包含的系统状态信息的情况，而且隐含着输出对系统状态的某种连续依赖性. 　　令u（t）=0，控制观测系统（1.1.1）退化为观测系统 　　（1.1.7） 　　该系统由矩阵A和C完全决定，通常简记为（A，C）. 　　定义1.1.1设X是状态空间，Y是输出空间.对任意的，观测系统上的观测映射定义如下: 　　（1.1.8） 　　如果存在时刻τ>0使得，则称系统上可观. 　　容易证明，KerCτ与τ无关，即 　　（1.1.9） 　　因此，下面表述是等价的: 　　系统（A，C）可观; 　　存在τ>0，使得KerCτ={0}; 　　对任意的τ>0，有KerCτ={0}. 　　对任意的τ>0，下面矩阵称为观测系统（A，C）的Gram矩阵 　　（1.1.10） 　　直接计算可得:，其中是的共轭算子 　　（1.1.11） 　　所以，Wo（τ）是半正定的. 　　定理1.1.1系统（A，C）可观的充要条件是:存在τ>0使得Gram矩阵 　　Wo（τ）正定，或者等价地，存在cτ>0使得 　　（1.1.12） 　　证明由于 　　（1.1.13） 　　因此，正定当且仅当存在c使得（1.1.12）成立. 　　充分性:由于正定，可以定义映射如下: 　　（1.1.14） 　　直接计算可得，从而，于是有.系统（1.1.7）可观. 　　必要性:系统（1.1.7）可观意味着存在使得.假设对任意的，矩阵都不正定.特别地，从而矩阵是奇异的.于是存在向量使得，进而 　　（1.1.15） 　　所以，这与矛盾. 　　当系统（A，C）可观时，这说明Cτ是单射，所以X和之间存在1-1对应.也就是说，对任意的，存在唯一的，使得.因此，系统可观意味着输出上的值可以唯一地确定初值，从而唯一地确定了系统状态.观测不等式（1.1.12）的重要之处在于，它还保证了初值对输出的连续依赖性.当输出变化不大时，它所确定的初值变化也不大.由于输出信号不可避免地要带有干扰，这种连续依赖性是观测系统必须具备的性质.对于有限维系统而言，这种连续依赖性是隐藏在系统可观的定义中的.综上，系统可观意味着输出在上的值可以唯一、连续地确定初值x0（或状态. 　　对任意的，其中由（1.1.14）定义.函数f和之间是什么关系呢?当时，存在使得.注意到，我们有 　　（1.1.16） 　　当时，下面定理指出:是在上唯一的*佳逼近.这一结论揭示了观测系统（A，C）与给定信号之间的内在关系，为信号的动态表示提供了理论基础. 　　定理1.1.2设系统（1.1.7）可观，τ>0，映射Cτ和Fτ分别由（1.1.8）和（1.1.14）定义，则对任意的，CτFτ（f）是f在RanCτ上唯一的*佳逼近，即 　　（1.1.17） 　　证明由（1.1.14）可知:于是 　　（1.1.18） 　　注意到 　　（1.1.19） 　　对任意的和任意的，由（1.1.16）和（1.1.19）可得 　　（1.1.20） 　　所以与正交.由泛函分析理论，是f在上的*佳逼近. 　　由于是空间的有限维线性子空间，所以，*佳逼近元是唯一的. 　　n阶系统的可观性还有如下常用结论（状态空间的维数称为系统的阶数）: 　　定理1.1.3（Kalman判据）系统（A，C）可观当且仅当rank（Po）=n，其中， 　　（1.1.21） 　　定理1.1.4（PBH秩判据（Popov，Belevitch，Hautus）系统（A，C）可观当且仅当 　　（1.1.22） 　　或者 　　（1.1.23） 　　定理1.1.5（[21，p.223，Lemma6.2.5]）输出反馈不改变系统（A，C）的可 　　观性，即:对任意的，系统（A，C）可观当且仅当系统（A+KC，C）可观. 　　状态反馈可能会改变系统的可观性，例如:如果令 　　则有系统（A，C）可观，而系统（A+KF，C）不可观. 　　1.1.2可控性 　　可控性用来描述控制策略对系统状态的操纵能力.当只关注系统的可控性时， 　　控制观测系统（1.1.1）退化为控制系统 　　（1.1.24） 　　该系统由矩阵A和B完全决定，通常简记为（A，B）. 　　定义1.1.2对任意的，系统（1.1.24）在上的控制映射 　　（1.1.25） 　　定义1.1.3对任意初始状态和终止状态，如果存在时刻以及控制，使得系统（1.1.24）的解满足，则称系统（1.1.24）可控. 　　控制映射可以用来刻画系统的可控性.事实上，如果存在，使得，则对任意的使得 　　（1.1.26） 　　上式等价于 　　（1.1.27） 　　所以系统（1.1.24）可控.容易证明，与无关，即 　　（1.1.28） 　　因此，下面表述是等价的: 　　控制系统（A，B）可控; 　　存在τ>0，使得RanBτ=X; 　　对任意的τ>0，有RanBτ=X. 　　对任意的τ>0，如下矩阵称为控制系统（A，B）的Gram矩阵 　　（1.1.29） 　　直接计算可得，其中是的共轭算子 　　（1.1.30） 　　所以，Wc（τ）是半正定的. 　　定理1.1.6系统（1.1.24）可控的充要条件是:存在τ>0，使得Gram矩阵Wc（τ）正定，或者等价地，存在cτ>0使得 　　（1.1.31） 　　证明由于 　　（1.1.32） 　　因此，Wc（τ）正定当且仅当存在cτ>0使得（1.1.31）成立. 　　充分性:由于Gram矩阵Wc（τ）正定，可令 　　（1.1.33） 　　直接计算可得 　　（1.1.34） 　　所以，系统（1.1.24）可控. 　　必要性:由于系统（1.1.24）是可控的，因此存在t1>0使得假设对任意的矩阵Wc（τ）都不正定，则.特别地，从而存在向量使得，即 　　（1.1.35）