大自然的分形几何学

**篇引言 　　第1章论题 　　为什么几何学常常被描述为“冷酷无情”和“枯燥乏味”的?原因之一是它无力描述云彩、山岭、海岸线或树木的形状.云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的. 　　更为一般地，我要指出，自然界的许多图形是如此不规则和支离破碎，以致与欧几里得几何学——本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不仅具有较高程度的复杂性，而且更具有完全不同层次上的复杂性.自然界各种模式中的长度标度，对所有实际应用而言都是无限的. 　　这些模式的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得几何学搁置一边，认为是“无形状可言”的形状，去研究“无定形”的形态学.然而数学家们蔑视这种挑战，他们越来越多的选择是，想出种种与我们看得见或感觉得到的任何东西都无关的理论，来逃避大自然. 　　作为对这个挑战的回答，我构思和发展了大自然的一种新的几何学，并在许多不同领域中找到了它的用途.它描述了我们周围的许多不规则和支离破碎的形状，并通过鉴别出一族我称为分形的形状，建立了相当成熟的理论.*有用的分形包含机遇，无论是它们的规则性还是不规则性都是统计意义上的.而且这里所述的形状还是趋于标度的，意味着其不规则程度和/或支离破碎程度在所有不同的尺度下都是等同的.豪斯多夫(Hausdorff)分形维数的概念在本书中起着核心作用. 　　一些分形集合是曲线或曲面，另一些则是互不连接的“尘埃”，还有一些的形状是如此奇怪，以致无论在科学或艺术中都找不到合适的术语来称呼它们.我们鼓励读者现在就浏览一下书中的插图，看看它们到底是什么样子! 　　这些图中有许多形状是以前从未考虑过的，另一些则表示已知的构造方式，但常常也是**次作出的.事实上，虽然分形几何学出现于1975年，但它的许多工具和概念却在以前(由于与我的目的完全不同的其他各种目的)就发展起来了.通过把旧石料砌入新结构中，分形几何学能够“借用”非常广泛而又严格的基础，很快导出数学中引人注目的许多新问题. 　　尽管如此，本书仍恪守其宗旨，既不追求抽象性也不追求一般性，它既不是教科书也不是数学专著.尽管本书很厚，我却把它看成一篇科学随笔，因为它是用个人的观点写成的，并不追求尽善尽美.像许多文艺随笔一样，常会兴之所至，离题闲聊.这种不拘形式的行文或许能使读者增加兴趣，更易理解.全书中有许多数学上“容易”的部分，特别是接近结尾处.读者不妨浏览和跳过这些，至少在头一两次阅读时. 　　目标陈述 　　本书集不同学科的众多分析于一体，促进了一种新的数学和哲学的综合.因此，它既是范例集，又是宣言书.而且，它还展示了一个富于艺术美的全新世界. 　　科学范例集 　　医生和律师分别用“病例集”和“案例集”来称呼有共同主题的实际病例和案例的汇编.而科学上尚无相应的专门名词，我建议我们应用“范例集à”这个名词.重要的范例需反复关注，不很重要的也值得评述;常常可利用已有的范例缩短讨论. 　　有一个范例的研究，涉及一种熟知的数学方法在一种众所周知自然现象中的杰出应用，即物理学中布朗(Brown)运动的维纳(Wiener)几何模型.令人惊讶的是，我们遇到的并非维纳过程的新的直接应用，根据该理论，在我们所处理的各种复杂程度较高的现象中，布朗运动只是一种特殊情形，一种极其简单且无结构的情形.然而，我们还是把它包括在内，因为许多有用的分形是布朗运动的缜密变体. 　　另一些范例研究则主要报道我本人的工作、前分形先例，以及鉴于一些学者对本书早期的1975年和1977年版本的反应而作出的扩展.有些范例与随处可见的山脉和类似物体的现实世界相关，从而*终实现了几何这个术语长期以来所许诺的内容.但其他范例述及亚微观的集聚物——物理学的主要研究对象. 　　实质性的论题有时是深奥的.在另一些情况下，即使论题是熟知的，它的几何方面也尚未被适当地探讨过.对此值得重温庞加莱(Poincaré)的评论:有些问题是人们选择提出的，而另一些则是自行提出的.如果一个问题老是被提出而无反应，那么它势必将遗留给下一代. 　　由于这个困难，前几版的书中强调指出，分形方法既是有效的又是“自然”的.人们不仅不应该抵制它，反而应该为怎么到现在才发现这种方法而感到奇怪.又为了避免不必要的争议，在我的早期版本里尽量缩小以下各项之间的不连续性:标准的和其他已发表材料的阐述、采用新的变更的阐述，以及采用我自己的思想和结果所作的说明.在本书中则与此相反，我清楚地说明了谁做了什么贡献. 　　*应强调的是，我并未把分形观点看作万灵妙方，每个范例研究都应根据它所在领域内的准则来加以检验，也就是，多半是基于它在组织、说明和预测方面的 à病例、案例、范例的英语词都是“case”.——译者注力量，而不是作为数学结构的一个例子.因为每一个范例研究都必须化简以使它成为真正的技术性问题，读者若欲知其详，可查阅其他文献.这种做法使得本书从头至尾都是序言性的(效仿(d’ArcyThompson，1917)).任何期望过多的专家都将会感到失望. 　　宣言书:大自然的几何学具有分形的面貌 　　现在，把下面这些前奏放在一起的理由在于，其中每一个都能帮助人们理解其他的，因为它们享有共同的数学结构.F.J.戴森(Dyson)对我的这个题目给出了一个有说服力的总结. 　　“分形这个词是芒德布罗发明的，以便把那些在纯数学的发展中(不变)历史性作用的一大类对象放在一个标题之下.一个重大的思想革命分隔了19世纪的经典数学与20世纪的现代数学.经典数学扎根于规则的欧几里得几何结构和连续演化的牛顿(Newton)动力学.现代数学开始于康托尔(Cantor)的集合论和佩亚诺(Peano)的充满空间的曲线.历史地看，革命的出现是由于发现了不适合欧几里得和牛顿模式的数学结构.这些新的结构曾被看作是 ‘病态的’ 是‘怪物的画廊’，是立体派绘画艺术和无调性音乐的近亲，因为它们在几乎相同的时期内破坏了艺术中已经确立的欣赏标准.创造这些怪物的数学家认为它们是重要的，因为这说明了纯粹数学世界包含着极大可能性，远远超过在大自然中能看到的简单结构.20世纪数学的繁荣在于相信它完全超越了由自然根源所加的限制.” 　　“现在，正如芒德布罗所指出的 大自然同数学家开了一个玩笑.19世纪的数学家也许缺乏想象力，然而大自然却并非如此.数学家为了逃脱19世纪的自然主义而发明了一些病态结构，其实是环绕我们的熟知物体中所固有的à.” 　　简言之，我证实了布莱兹 帕斯卡(BlaisePascal)的观察;想象力总是先于大自然而枯竭.(“L’imagination se lassera plut.t de concevoir que la nature de fournir.”) 　　尽管如此，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”.它是数学危机的一个晚产的新领域，这个危机始于迪布瓦 雷蒙(duBois Reymond)于1875年首次报道魏尔斯特拉斯(Weierstrass)构造的连续而处处不可微函数(见第3，39和41章).这个危机大约延续到1925年，主要人物有康托尔、佩亚诺、勒贝格(Lebesgue)和豪斯多夫.这些姓名，以及伯西柯维奇(Besicovitch)、波尔查诺(Bolzano)、切萨罗(Cesàro)、科赫(Koch)、奥斯古德(Osgood)、谢尔平斯基(Sierpiński)和乌雷松(Urysohn)等，在对大自然的经验性研究中通常并不出现，然而我要强调指出，这些天才们工作的影响，远远超出了原定的范围.à引自“Characterizing Irregularity”by Freeman Dyson，Science，Mar 12，1978，vol.200，no.4342，pp.677-678.Copyright.1978 by the American Association for the Advancement of Science. 　　我将说明，在他们十分狂野的创造背后，他们自己及其几代后继者都不知道，对所有那些试图通过模仿大自然而赞美它的人而言，有着一个趣味盎然的世界. 　　我们再一次为若干过去发生的事件曾经导致我们所期望的东西而感到惊讶，“数学语言显示了它在自然科学中不合理地有效 ，一个神奇的礼物，既不是我们能理解的，也不是我们应得的.我们应当为此高兴，并希望它会在将来的研究中继续有效，不管是好是坏，它都会给我们带来快乐，虽然或许使我们感到困惑，但它将扩展到广阔的研究领域”.(Wigner，1960) 　　数学、大自然和美学 　　此外，分形几何学揭示了，数学中若干*严密**正规的部分里，有一个隐藏的面容:人们至今从未想到过的纯洁可塑的美丽世界. 　　“分形”和其他新词 　　在拉丁语中有一句谚语“正名就是求知”.直到我开始研究上一节中所提到的那些集合之前，还不需要用一个专门术语来称呼它们.然而，随着经典怪物因我的努力而被驯服和治理，也因为许多新的怪物开始出现，就越来越需要有一个专门术语了.这件事情因为需要给本书的**版取一个书名而显得十分迫切. 　　我由拉丁语形容词fractus创造了词“分形”(fractal).相应的拉丁语动词frangere意味着“打破”而产生不规则的碎片.因此这是合情合理的——而且对我们的需要是如此合适!也就是，除了“fragmented”(破碎的)(如像在fraction[片断]或refraction[折射])中，fractus也应当意味着“不规则”，这两个含义都被保存在fragment(碎片)中. 　　正确的发音是frac′tal，重读音节与frac′tion相同. 　　对组合词“分形集合”(fractal set)将给出严格的定义，但对组合词“自然分形”(natural fractal)将只是随意地用于指明一种实际上能由分形集合表示的自然模式.例如，布朗曲线是分形集合，而物理上的布朗运动是一种自然分形. 　　[因为代数(algebra)起源于阿拉伯词jabara，意即结合在一起，分形和代数在语源上正好是相互对立的!] 　　更一般地，当我巡弋新发现或新开拓的领地时，我常常深受感动而行使为它的地标取名的权利.通常，谨慎地取一个新的名称要比在一个常用的术语中加入新的意义更好些. 　　我们必须记住，一个词的普通含义常是如此根深蒂固，以致无论怎样重新定义，都不能予以改变.正如伏尔泰(Voltaire)在1730年所说:“如果牛顿未曾用过‘吸引’这个词，那么(法国)科学院的每个成员都将瞠目结舌;然而遗憾的是他在伦敦使用了在巴黎带有嘲笑意思的这个词.”而短语如“相对于银河系分布的施瓦茨(Schwartz)分布的概率分布”简直是糟糕透顶. 　　本书中创造的术语，通过选取很少使用的拉丁语和希腊语词根如“孔洞”(trema)，以及极少另作他用的工厂、家庭和农场中的固定词汇，来避免任何不明确性的风险.家庭中使用的名称使那些怪物变得容易被驯服!例如，我赋予“尘埃”(dust)、“凝乳”(curd)和“乳清”(whey)以学术上的含义.我还提倡用“通铺覆”(pertiling)来表示遍地(=per)铺覆砖块的形状. 　　对目标的再次说明 　　总之，本书叙述了我建议的对许多具体问题(包括一些很古老的问题)的解答，所借助的数学工具，有些看来是很古老的，但它们从未以这种方式应用过(除了对布朗运动的应用).这种我们能够用数学处理的范例，以及这些范例的推广，成为一门新学科的基础. 　　我敢肯定，当科学家们发现多种被他们称为颗粒状的、多源的、中介的、丘疹状的、有麻点的、树枝状的、海藻状的、奇怪的、缠绕的、弯扭曲折的、扭动的、纤细的和皱折的等东西都可以用严格的和有效的定量方式来处理时，他们会感到既惊讶又高兴. 　　我希望