高等数学基础(第二版)(上下册)

**章 函数 微积分研究的主要对象是函数，使用的主要工具是极限，研究问题所使用的主要方法是分类、类比，具体的内容就是通过极限这个工具对函数进行分类(无穷小类、无穷大类、连续类、可导类、可积类等).它与初等数学所研究函数的重要区别是:初等数学研究的大多都是具体函数的具体性质，如研究函数的单调性、奇偶性、周期性等，而微积分除研究具体函数的具体性质外，主要研究抽象函数的抽象性质，如连续性、可导性、可积性等. 古典数学与现代数学讨论问题的重要区别之一是:古典数学主要是在数集上讨论问题，而现代数学主要是在一般的集合上讨论问题.所以为了方便把古典数学的思想方法推广到现代数学上去，并且准确而深刻地理解函数概念，集合知识是不可缺少的.本章将简要地介绍集合的一些基本概念，并在此基础上重点介绍函数的概念. **节 集合——微积分的基础，数学大厦的基石 Sets—the foundation of calculus， the cornerstone of mathematics 一、集合 Sets 1.集合的概念 Concepts of sets 集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由德国数学家康托尔(Cantor，1845—1918)在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的数学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.可以说，当今数学各个分支的几乎所有结果都构筑在严格的集合论理论上.所以，学习高等数学，应首先从集合入手. 所谓集合(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体.组成集合的各个对象称为该集合的元素(element). 习惯上，用大写字母 A， B， C，表示集合，用小写字母 a， b， c，表示集合的元素. 用;用(或)表示. 例1某学校全体男同学组成一个集合 A，而该学校的每个男同学是集合的所有实根构成一个集合 B，而方程的每个实根是集合 B的元素. 例3全体偶数组成一个集合 E，而每个偶数是集合上所有的点构成一个集合 C，而圆周上的点是集合 C 合称为有限集(finite set)，如上述例题中的集合 A， B;含有无限多个元素的集合称为无限集(infinite set)，如上述例题中的集合 C， E.不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作 2.集合的表示方法 表示集合的方法通常有两种.一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内.例如，所有自然数组成的集合可以表示为 N，则 N 这种方法是用集合元素所具有的共同性质来刻画这个集合，即将具有性质. 例如，自然数集 N 数g;所有实数组成的集合可表示成为实数g. 又如例4中集合数g. 二、集合的运算 1.集合的运算 1)子集 图1-1 对于集合，若集合，则，这时就称 (subset)，记作，读作 (或).若，且存在，使得，则称 (proper subset)，记作集合. 全体自然数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合， 全体实数的集合和全体复数的集合都是经常遇到的集合，我们 约定分别用粗体字母示这些集合，即N 用符号.表示“任意的”，符号.表示“存在”.例如，集合，可以表示为;集合，可以表示为. 正整数、正有理数和正实数的集合分别记为 Z+， Q+和 R+，显然有和. 若且，则称集合 A， B (equality of sets)，记作 A B.此时.设 (union set)，记作，即或. 它是将(图1-2). 3)交集 设是两个集合，称且为 A B (intersection set)，记作，即且. 它是由. 4)差集 设(difference set)，记作，即且. 它是由. 图1-2 图1-3 图1-4 例5 设，求. 解. 2.集合运算的性质 (1)交换律. (2)结合律. (3)分配律. (4)幂等律. (5)吸收律. 若，则. 特别地，由于，所以有. 三、区间与邻域 Intervals and neighborhoods 1.区间 Interval 在本书中经常遇到以下形式的实数集的子集——区间.为了书写简练，将各种区间的符号、名称、定义列表如下(表1)(且). 表1区间的符号、名称及定义 2.邻域 Neighborhood 设.数集表示为 U(a，δ)，即， 称为径.当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表示为 U(a)，简称为 a (a，δ)，即，也就是在中去掉中心 a，称为 a 半径δ时，常将它表示为. 简称为的子集开区间的右半邻域，开区间称为合，下列式子中正确的是(). (A)(B)(C)(D) 2.数集还可表示为(). (A)去心邻域(B)邻域(C)开区间(D)开区间 3.下列集合是空集的是(). (A)(B)(C)(D) 4.设集合. (A) (B)(C)(D) 5.用区间表示下列不等式的解: (1);(2);(3);(4). 第二节 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型 Functions—the research object of calculus， the mathematical model of dependent relation between variables 在一个自然现象或技术过程中，常常有几个量同时变化，它们的变化并非彼此无关，而是互相联系的，这是物质世界的一个普遍规律.17世纪初，数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了“函数”这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置. 一、函数的概念 Concepts of functions 1.函数定义 The definition of functions 定义1设非空数集，若对任意的，按照某种确定的法则 f，有唯一确定的与之对应，则称 (function)，记作，其中 x (independent variable)， y (dependent variable)， (domain of definition)，函数.对于任意的，称其对应值 (functional value)，记作 f(x)，即.全体函数值构成的集合称为函数 f (range)，常记作，即. 关于函数概念的几点说明: (1)用符号表示书中，为方便起见，我们约定，将指明函数，有时甚至笼统地说是 x 数定义，虽然函数都存在定义域，但常常并不明确指出函数 y f(x)的定义域，这时认为函数的定义域是自明的，即定义域是使函数有意义的实数 x 定义域，那么它的定义域就是使函数有意义的实数 x 义的函数，它的定义域要受实际意义的约束. (3)函数定义指出:对于任意的 x D，按照对应法则 f，对应唯一一个，这样的对应就是所谓的单值对应.反过来，一个就不一定只有一个，使 y f(x).例如函数.对于任意的，对应唯一一个，反之，对于的定义中，要求与单值函数(single valued function).如果取消唯一这个要求，即对应于称为多值函数(multiple valued function). 例如函数是多(双)值函数. 为讨论的方便起见，我们总设法避免函数的多值性.在一定条件下，多值函数可以分裂为若干单值分支.例如，双值函数就可以分成两个单值支:一支是不小于零的，另一支是不大于零的.我们知道方程的图形是中心在原点、半径为 r 图形.两个单值支就相当于把整个圆周分为上下两个半圆周.所以只要把各个分支弄清楚，由各个分支合起来的多值函数也就了如指掌了.本书若无特别说明，所讨论的函数都限于单值函数. 必须注意，定义域和对应法则是确定函数的两大要素.在数学中，两个函数相同是指它们的定义域和对应法则分别相同，至于自变量和因变量用什么字母来表示，则是无关紧要的.例如，函数与的定义域为， 义域不同.而函数定义域和对应法则都相同. 从函数的定义我们可以看出函数概念*重要的要素是对应法则，这种对应法则包含建立已知与未知的对应关系、简单与复杂的对应关系.所以说函数概念本身也蕴含解决问题的思想方法. 2.函数的表示法 函数的表示法一般有三种:表格法、图像法和解析法.这三种方法各有特点，表格法一目了然;图像法形象直观;解析法便于计算和推导.在实际中可结合使用这三种方法.