数学女孩6:庞加莱猜想

序言
第 1章 柯尼斯堡七桥问题 1
1．1 尤里 1
1．2 一笔画问题 2
1．3 从简单的图开始 7
1．4 图与次数 11
1．5 这也是数学吗 15
1．6 逆定理的证明 18

第 2章 默比乌斯带和克莱因瓶 35
2．1 楼顶 35
2．1．1 泰朵拉 35
2．1．2 默比乌斯带 36
2．2 教室 39
2．3 图书室 40
2．3．1 米尔嘉 40
2．3．2 分类 43
2．3．3 闭曲面的分类 45
2．3．4 可定向曲面 46
2．3．5 不可定向曲面 49
2．3．6 展开图 51
2．3．7 连通和 63
2．4 归途 72

第3章 泰朵拉的身边 75
3．1 家人的身边 75
3．2 0 的附近 77
3．2．1 练习 77
3．2．2 全等与相似 81
3．2．3 对应关系 84
3．3 实数a的附近 86
3．3．1 全等、相似、同胚 86
3．3．2 连续函数 88
3．4 点a的附近 94
3．4．1 前往异世界的准备 94
3．4．2 距离的世界：实数a 的δ 邻域 95
3．4．3 距离的世界：开集 96
3．4．4 距离的世界：开集的性质 98
3．4．5 旅程：从距离的世界到拓扑的世界 101
3．4．6 拓扑的世界：开集公理 103
3．4．7 拓扑的世界：开邻域 106
3．4．8 拓扑的世界：连续映射 108
3．4．9 同胚映射 115
3．4．10 不变性 116
3．5 泰朵拉的身边 117

第4章 非欧几何 123
4．1 球面几何 123
4．2 现在和未来之间 130
4．3 双曲几何 131
4．3．1 所谓的“学习” 131
4．3．2 非欧几何 132
4．3．3 鲍耶与罗巴切夫斯基 137
4．3．4 自己家 141
4．4 跳出勾股定理 142
4．4．1 理纱 142
4．4．2 距离的定义 143
4．4．3 庞加莱圆盘模型 145
4．4．4 半平面模型 152
4．5 超越平行公理 153
4．6 自己家 156

第5章 跳入流形 159
5．1 跳出日常 159
5．1．1 轮到我了 159
5．1．2 为了打倒恶龙 160
5．1．3 尤里的疑问 161
5．1．4 考虑低维的情况 162
5．1．5 会歪成什么样子呢 168
5．2 跳入非日常 174
5．2．1 樱花树下 174
5．2．2 内外翻转 175
5．2．3 展开图 177
5．2．4 庞加莱猜想 182
5．2．5 二维球面 183
5．2．6 三维球面 185
5．3 要跳入，还是跳出 187
5．3．1 醒过来时 187
5．3．2 Eulerians 188

第6章 捕捉看不到的形状 193
6．1 捕捉形状 193
6．1．1 沉默的形状 193
6．1．2 问题的形状 195
6．1．3 发现 197
6．2 用群来捕捉形状 199
6．2．1 以数为线索 199
6．2．2 线索是什么 204
6．3 用自环来捕捉形状 206
6．3．1 自环 206
6．3．2 自环上的同伦 210
6．3．3 同伦类 213
6．3．4 同伦群 216
6．4 掌握球面 218
6．4．1 自己家 218
6．4．2 一维球面的基本群 218
6．4．3 二维球面的基本群 219
6．4．4 三维球面的基本群 221
6．4．5 庞加莱猜想 221
6．5 被限制的形状 223
6．5．1 确认条件 223
6．5．2 捕捉我所不知道的自己 225

第7章 微分方程的温度 229
7．1 微分方程 229
7．1．1 音乐教室 229
7．1．2 教室 231
7．1．3 指数函数 236
7．1．4 三角函数 243
7．1．5 微分方程的目的 245
7．1．6 弹簧振动 247
7．2 牛顿冷却定律 253

第8章 高斯绝妙定理 263
8．1 车站前 263
8．1．1 尤里 263
8．1．2 让人惊讶的事 267
8．2 自己家 268
8．2．1 妈妈 268
8．2．2 罕有之物 271
8．3 图书室 272
8．3．1 泰朵拉 272
8．3．2 理所当然的事 275
8．4 加库拉 277
8．4．1 米尔嘉 277
8．4．2 倾听 277
8．4．3 解题 279
8．4．4 高斯曲率 283
8．4．5 绝妙定理 286
8．4．6 齐性和各向同性 288
8．4．7 回礼 289

第9章 灵感与毅力 291
9．1 三角函数训练 291
9．1．1 灵感与毅力 291
9．1．2 单位圆 292
9．1．3 正弦曲线 296
9．1．4 从旋转矩阵到两角和公式 297
9．1．5 从两角和公式到积化和差公式 298
9．1．6 妈妈 300
9．2 合格判定模拟考 302
9．2．1 不要紧张 302
9．2．2 不要被骗 302
9．2．3 需要灵感还是毅力 305
9．3 看穿算式的形式 311
9．3．1 概率密度函数的研究 311
9．3．2 拉普拉斯积分的研究 317
9．4 傅里叶展开式 322
9．4．1 灵感 322
9．4．2 傅里叶展开式 324
9．4．3 超越毅力 329
9．4．4 超越灵感 331

第 10章 庞加莱猜想 335
10．1 公开研讨会 335
10．1．1 课程结束之后 335
10．1．2 午餐时间 336
10．2 庞加莱 337
10．2．1 形状 337
10．2．2 庞加莱猜想 339
10．2．3 瑟斯顿的几何化猜想 343
10．2．4 哈密顿的里奇流方程 345
10．3 数学家们 346
10．3．1 年表 346
10．3．2 菲尔兹奖 348
10．3．3 千禧年大奖难题 350
10．4 哈密顿 352
10．4．1 里奇流方程式 352
10．4．2 傅里叶的热传导方程 353
10．4．3 颠覆性的想法 354
10．4．4 哈密顿计划 356
10．5 佩雷尔曼 359
10．5．1 佩雷尔曼的论文 359
10．5．2 再前进一步 362
10．6 傅里叶 363
10．6．1 傅里叶的时代 363
10．6．2 热传导方程 364
10．6．3 分离变量法 368
10．6．4 重叠积分 370
10．6．5 傅里叶积分 371
10．6．6 观察类似的式子 375
10．6．7 回到里奇流方程 376
10．7 我们 377
10．7．1 从过去到未来 377
10．7．2 冬天来了 378
10．7．3 春天不远了 379

尾声 381
后记 385
参考文献和导读 389