离散数学

第1章 数学语言与证明方法1

1.1常用的数学符号1

1.1.1集合符号1

1.1.2运算符号2

1.1.3逻辑符号2

1.2集合及其运算3

1.2.1集合及其表示法3

1.2.2集合之间的包含与相等4

1.2.3集合的幂集5

1.2.4集合的运算6

1.2.5基本集合恒等式及其应用8

1.3证明方法概述11

1.3.1直接证明法和归谬法12

1.3.2分情况证明法和构造性证明法13

1.3.3数学归纳法14

1.4递归定义16

习题17

第2章 命题逻辑22

2.1命题逻辑基本概念22

2.1.1命题与联结词22

2.1.2命题公式及其分类28

2.2命题逻辑等值演算33

2.2.1等值式与等值演算33

2.2.2联结词完备集37

2.3范式39

2.3.1析取范式与合取范式39

2.3.2主析取范式与主合取范式42

2.4推理49

2.4.1推理的形式结构49

2.4.2推理的证明51

2.4.3归结证明法57

2.4.4对证明方法的补充说明60

习题60

目录离散数学（第4版）第3章 一阶逻辑66

3.1一阶逻辑基本概念66

3.1.1命题逻辑的局限性66

3.1.2个体词、谓词与量词66

3.1.3一阶逻辑命题符号化68

3.1.4一阶逻辑公式与分类71

3.2一阶逻辑等值演算76

3.2.1一阶逻辑等值式与置换规则76

3.2.2一阶逻辑前束范式79

习题81

第4章 关系86

4.1关系的定义及其表示86

4.1.1有序对与笛卡儿积86

4.1.2二元关系的定义87

4.1.3二元关系的表示89

4.2关系的运算90

4.2.1关系的基本运算 90

4.2.2关系的幂运算93

4.3关系的性质96

4.3.1关系性质的定义和判别96

4.3.2关系的闭包100

4.4等价关系与偏序关系104

4.4.1等价关系104

4.4.2等价类和商集104

4.4.3集合的划分106

4.4.4偏序关系107

4.4.5偏序集与哈斯图 108

习题112

第5章 函数117

5.1函数的定义及其性质117

5.1.1函数的定义117

5.1.2函数的像与完全原像 119

5.1.3函数的性质 120

5.2函数的复合与反函数123

5.2.1函数的复合123

5.2.2反函数125

习题129

第6章 图133

6.1图的基本概念133

6.1.1无向图与有向图133

6.1.2顶点的度数与握手定理135

6.1.3简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图137

6.1.4子图、补图139

6.1.5图的同构140

6.2图的连通性142

6.2.1通路与回路142

6.2.2无向图的连通性与连通度142

6.2.3有向图的连通性及其分类145

6.3图的矩阵表示145

6.3.1无向图的关联矩阵145

6.3.2有向无环图的关联矩阵146

6.3.3有向图的邻接矩阵147

6.3.4有向图的可达矩阵148

6.4几种特殊的图150

6.4.1二部图150

6.4.2欧拉图153

6.4.3哈密顿图154

6.4.4平面图158

习题167

第7章 树及其应用174

7.1无向树174

7.1.1无向树的定义及其性质174

7.1.2生成树177

7.2根树及其应用178

7.2.1根树及其分类178

7.2.2*优树与哈夫曼算法179

7.2.3*佳前缀码180

7.2.4根树的周游及其应用182

习题183

第8章 组合计数基础186

8.1基本计数规则187

8.1.1加法法则187

8.1.2乘法法则187

8.1.3分类处理与分步处理188

8.2排列与组合188

8.2.1集合的排列与组合189

8.2.2多重集的排列与组合192

8.3二项式定理与组合恒等式194

8.3.1二项式定理194

8.3.2组合恒等式195

8.3.3非降路径问题200

8.4多项式定理与多项式系数202

8.4.1多项式定理202

8.4.2多项式系数203

习题204

第9章 容斥原理207

9.1容斥原理及其应用207

9.1.1容斥原理的基本形式207

9.1.2容斥原理的应用208

9.2对称筛公式及其应用211

9.2.1对称筛公式211

9.2.2棋盘多项式与有限制条件的排列213

习题216

第10章 递推方程与生成函数218

10.1递推方程及其应用218

10.1.1递推方程的定义及实例218

10.1.2常系数线性齐次递推方程的求解220

10.1.3常系数线性非齐次递推方程的求解223

10.1.4递推方程的其他解法225

10.1.5递推方程与递归算法229

10.2生成函数及其应用234

10.2.1牛顿二项式定理与牛顿二项式系数234

10.2.2生成函数的定义及其性质235

10.2.3生成函数的应用237

10.3指数生成函数及其应用242

10.4Catalan数与Stirling数244

习题249

第11章 初等数论252

11.1素数252

11.2*大公约数与*小公倍数255

11.3同余258

11.4一次同余方程与中国剩余定理260

11.4.1一次同余方程260

11.4.2中国剩余定理262

11.4.3大整数算术运算263

11.5欧拉定理和费马小定理264

习题265

第12章 离散概率269

12.1随机事件与概率、事件的运算269

12.1.1随机事件与概率269

12.1.2事件的运算271

12.2条件概率与独立性272

12.2.1条件概率272

12.2.2独立性274

12.2.3伯努利概型与二项概率公式274

12.3离散型随机变量275

12.3.1离散型随机变量及其分布律275

12.3.2常用分布276

12.3.3数学期望278

12.3.4方差279

12.4概率母函数281

习题283

第13章 初等数论和离散概率的应用287

13.1密码学287

13.1.1凯撒密码287

13.1.2RSA公钥密码288

13.2产生伪随机数的方法290

13.2.1产生均匀伪随机数的方法290

13.2.2产生离散型伪随机数的方法291

13.3算法的平均复杂度分析293

13.3.1排序算法293

13.3.2散列表的检索和插入296

13.4随机算法299

13.4.1随机快速排序算法299

13.4.2多项式恒零测试300

13.4.3素数测试302

13.4.4蒙特卡罗法和拉斯维加斯法303

习题304

第14章 代数系统307

14.1二元运算及其性质307

14.1.1二元运算与一元运算的定义307

14.1.2二元运算的性质309

14.2代数系统312

14.2.1代数系统的定义与实例312

14.2.2代数系统的分类313

14.2.3子代数系统与积代数系统314

14.2.4代数系统的同态与同构315

14.3几个典型的代数系统316

14.3.1半群与独异点316

14.3.2群318

14.3.3环与域324

14.3.4格与布尔代数327

14.4皮亚诺系统332

习题334

参考文献338