逻辑与发现——物理学领域经典范例启示录

第1章 独立时空与经典基本作用力 　　将生活中得到的许许多多经验事实归纳成一种简单的既可用来解释那些现象，令那些熟悉的事实成为某种特殊情形，又可用来指导未来探索的基本原理是自古以来从事科学探索的人们的根本性动机。在这样观察、归纳、抽象、分析、解释、检验的探索过程中，论证，或者尽可能地说服自己和说明理由就是不会缺少的伴随过程，因为需要依据经验常识或实验事实，以及与已经形成的共识之间的一致性来判定思想中新获得的结论的可靠性，或者对可靠性的一种相信。这就意味着，从古希腊开始，科学探索就离不开逻辑这门工具，因为逻辑学对用来解释物理学现象的理论前提的选择有一项根本性要求：它们必须在所关注的范围内是真实的，这是逻辑可靠性要求。因此在假设观察得到的现象的真实性基础上，由归纳和抽象所得到的现象应当是尽可能真实的，是合乎现实的；逻辑学对论证或分析也有一项根本性要求：论证或分析过程必须是有效的。就是说，从真实的前提出发，必须保证所得到的结论也是真实的。 　　本章涉及两大领域古典时期几位主要探索者的思维进程。这两大领域就是涉及重力或者引力的动力学领域以及涉及电磁力的电动力学领域。 　　在动力学方面，我们将展示古希腊时期亚里士多德、阿基米德对于重力或引力的探索和思考；17 世纪早期伽利略关于平衡和自由落体的探索与思考；17 世纪后期牛顿关于动力学和引力的探索与思考。从他们的代表作中，我们将关注他们所使用的公理化方法，即如何将生活中得到的许许多多经验事实归纳成一种简单的既可用来解释那些现象，令那些熟悉的事实成为某种特殊情形，又可用来指导未来探索的基本原理 (公理或假设)，以及如何依据所获得的原理来解决自己面临的现实问题。如果说亚里士多德和阿基米德是古希腊智者善用生活经验的典型代表，那么伽利略则是从生活经验出发首创实验来发现和检验思想结果的开山辟路之人。如果说伽利略是建立自由落体动力学理论的思考者，那么牛顿则是站在伽利略肩膀上的系统性应用逻辑建立动力学理论体系的思考者。在这一部分，我们还会看到古典力学思想中所包含的错误的美丽之处，因为那些错误断言所具有的不合理性激发了后来者寻求真理的动机，以及启发了他们去找到修正错误的着眼点和抓手。美丽的错误不是为指责而生，而是为建设者所立，因为对科学的探 索之路本就是复杂的大浪淘沙之路，本就是思考者不断攀登、不断去伪存真之路。 　　在电动力学方面，我们将展示18世纪后期库仑的电磁实验定律，19世纪初的电磁相互感应的定律发现的过程，以及19 世纪60年代麦克斯韦建立电磁场理论的思维之路。这里，我们的**个重点是库仑如何从自己的实验设计、实验开展以及实验总结过程中提炼出电磁定律；第二个重点是麦克斯韦如何系统性地从系统性地综合出描述电磁现象以及表述实验定律的偏微分方程。从麦克斯韦的工作中，我们会看到从观念的改变到概念的产生的思维过程，从实验定律到符号化、形式化表述的跨越；我们会看到逻辑和植入逻辑的数学语言在善于使用者那里的功能；我们会看到可靠的理论将怎样为未来的实验提出高度可靠的预言，以及将会为未来的探索和发展提出引领性的新的问题。 　　1.1 质量引力 　　在本节中，我们简单回顾一下古希腊力学的几个典型例子。从中我们可以看到力学从一开始就与对空间几何的认知以及逻辑推理紧密关联。 　　1.1.1 起源：地心引力与大地球状 　　亚里士多德 (Aristotle，公元前 384~公元前 322) 关于地心引力和地球形状的思想对于力学原理的发展有过深远的影响。亚里士多德在《天体论》第二卷第十四章中写道à：“由于宇宙的中心与地球的中心重合，扪心自问到底这些天体，甚至地球的各个部分，被哪一个中心所吸引。到底是因为这个点是宇宙的中心它们才被吸引，还是因为这个点是地球的中心而被吸引？它们一定是被宇宙中心所吸引的。因此，天体也就都被地球中心所吸引，但这仅仅只是一种偶然，因为这个中心恰好也是宇宙中心。”接下来问：如果地球是圆的而且处于世界的中心，如果在它的某个半球上添加一个重大物体，将会发生什么？这个问题的答案如下：“地球必然会变动，直到它以一种匀称的方式围绕世界中心，因为相互保持平衡的趋势导致不同部分的变动。” 　　或许正是在宇宙中心与地球中心重合的假设下，亚里士多德相信承载万物的大地是一个球体。不仅如此，亚里士多德还反复论证地球是一个球体。他区分两，旅行者从南到北所见到的星座的出现与消失现象；一种是先验的，比如，他说，“假设地所有的方向，并且都相似地被地球中心所吸引着。那么地球的那些被相互分离且被送到世界末端的部分被容许在中心合并，令地球以不同的过程形成，其结果会完全相同。如果这些部分再被送到世界末端，并且在各个方向都以相似的方式分送到那里，它们将必然形成一个对称质量。因为那会导致各向等同部分的添加，并且那个包络新产生质量的曲面会处处与地球中心等距。因此这样的曲面必定是一个球面。但是，如果那些形成质量的部分并非以在所有方向等量的方式分送，有关地球形状的解释也不会发生丝毫改变。事实上，较大部分一定会将面前的较小部分推开，因为两者都有朝向地球中心的趋势，而具备更大功力的重量有能力令较小的挪位。” 　　亚里士多德还从水面形状来论证地球是球状。假定水往低处流，也就是水总向离地球中心*近的地方流去。假设* 是在圆心为 * 的圆弧上的一段 ( β 在左，*在中，*在右，为圆弧段上的三个点)，令 * 为直线段 *与直线段 *(半径) 的交点。那么线段 αδ 是从圆心 α 到线段 βγ 的*短连线。“水将从各处朝δ 流去，直到水面到圆心处处等距。由此得到水将在从中心辐射开来的所有射线上占据相同长度的线段。然后它将处于平衡状态。可是平面上所有从中心辐射开来的等距直线线段构成一个圆的圆周。因此，水面 *就会是球面。” 　　当然，关于地球的球状的论证*具说服力的是经典的实在性“论证”：“在大海上航行中，在甲板上经常难以看到地球远方或者远处有船行驶靠近，但是爬到桅杆顶上的船员就可以看到这些，因为他们处在很高的位置，足以克服由大海的上凸所造成的视觉障碍。” 　　从今天的角度看，亚里士多德的力学理论中有许多根本性错误，但这些来自日常生活经验和观察的朴素理论影响了亚里士多德之后将近两千年的力学思想。正是亚里士多德想法中的错误被后人所发现，才有新理论的建立，从而导致力学的飞跃发展。同时应当注意的是亚里士多德在解释物理现象时对于欧几里得 (Euclid)几何以及逻辑推理的依赖。很明显的是从一开始力学探讨就离不开几何理论和逻辑分析。 　　1.1.2 物体重量度量问题 　　前面在假定一些常识的前提下我们曾经断言物体之间的等重关系是一个相同关系，或者说是一个等价关系，并且物体间的轻重比较关系是一个与等重关系相关联的准线性序关系。我们所假定的常识就是对物体可以实现重量度量，从而可知它们是否等重以及孰轻孰重。就实际生活而言，应该如何以现实手段来确定两个物体是否等重？在不等重的前提下如何确定一个物体是否比另外一个物体轻或重？秤，或者天平，便是自古以来实现物体间等重或轻重比较的一种实用工具。对重物的度量也就都以秤来实现。秤的作用就是建立实物的质料多少与实数数量大秤都依赖将一种在一定范围内具有时空不变性的基本物体作为物体重量度量的基本单位。这种可以任意选定的实物重量度量基本单位基本上完全确定了一种度量方式。这种基本物体通常被称为秤砣。所谓秤，就是一种固定一端 (悬挂重物之挂钩) 与秤杆支撑点 (吊绳) 的距离而在支撑点的另外一边标出不同的明显距离刻度 (称重时移动悬挂秤砣的吊绳到相应的刻度处以至于秤杆处于水平状态)。 　　对一个社会而言，自然就有一个秤砣选择问题以及秤的制作问题。众所周知，秦始皇统一中国之后大力推行的重要工作之一就是统一全国的度量衡，也就是在全国范围内实施重物度量的规范化度量。秦始皇的重量度量规范化就是以一种统一的标准来选择秤砣以及制作标准的秤。 　　与此相关的一个理论问题就是物体重量的规范化度量问题：在选定一个秤砣作为物体度量的基本单位之后如何标准地度量任意一个物体的重量？或者标准的秤应当如何制作？或者制作标准的秤的理论基础或理论依据是什么？这一理论问题的解答是杠杆平衡问题解答的一种特殊情形。 　　1.1.3 杠杆平衡问题 　　什么是杠杆平衡问题呢？ 　　在我们社会，经常可以听到一种“四两拨千斤”的说法，也就是用很小的力气去拨动超重物体。那么在具体情形下怎样实现“四两拨千斤”？事实上，在实际生活中，一种经常出现的普遍现象就是人们为了挪动一件超出自身体力极限的重物而不得不借助一种名为杠杆的简单工具。通常一根用来挪动重物的杠杆就是一根长约两米、粗细均匀、质料坚固的木杠。一个人若不使用杠杆便不能挪动一件超重物体，但一旦使用一根合适的杠杆就能轻而易举地撬动那件重物。这就是一种“四两拨千斤”的具体行为。杠杆是常见的实现“四两拨千斤”的*简单的一种工具，其他实现“四两拨千斤”的工具包括螺丝扳手、螺丝锥、单一或多重滑轮系统、齿轮或皮带轮传动系统、吊车装置等。重量度量装置 (度量衡，包括 20 世纪六七十年代我国还在广泛使用的木杆秤) 也是同一类的事物。为什么这些工具就可以实现“四两拨千斤”？这些工具之所以具有这样的功能的基本原理是什么？这就是杠杆平衡问题。 　　这些都需要一种一般性的理论来回答。这种理论就是力学上一系列的杠杆原理或力矩 (包括水平力矩或转动力矩) 平衡原理。 　　1.1.4 《机械力学问题》之解答 　　根据杜加斯 (René Dugas) 的《力学史》，*早对这一问题展开讨论的是古希腊的一本名为《机械力学问题》的教材，其主要内容是关于简单机械的实用机械力学。 　　这本教材是怎样回答上述杠杆平衡问题的呢？ 　　教材的作者认为，之所以使用一根合适的杠杆就能轻而易举地撬动那件原本难以挪动之重物，究其根源就在于圆。事实上，这本教材还将对所有简单机械问题的研究归结到同一条简单原理：归根到底在于圆具有一种奇特本性。教材的作者认为“平衡之本在于圆的那些性质；杠杆之本又在于平衡的那些性质；*终几乎所有的机械运动都可以归结到杠杆的那些性质”。 　　为什么*终会被归结到圆那里去呢？这在古希腊的思考者看来非常自然、毫不奇怪，因为神奇之事由更为神奇之事所导致；*神奇的事情就是对立统一；任何一个实物的圆都是这种对立统一的一种具体实现，它们集可滚动之物与保持稳定之物于一体，因而就都是*具体的对立统一之物。 　　这种归根结底的想法的合理性是什么呢？《机械力学问题》的作者将上述定性分析的逻辑序列进一步落实到力学的定量分析的逻辑序列之上。《机械力学问题》的作者所依赖的*基本的出发点为这样一条原理(**力学假设)： 　　假设1(**力学假设) 令物体运动的主导动力 (power) 等于物体的重量(或质量)与物体获得的运动速度的乘积。 　　应用这一原理，便能够“确立”在不同长度的双臂两端挂上不同重物的杠杆处于平衡状态的条件：两端物体的重量与各自臂长的乘积相等。这是因为： 　　(1) 如果杠杆绕支撑点旋转，那么两端重物的运动速度会与承载它们的臂长成比例； 　　(2) 若杠杆处于平衡状态，杠杆两端相反的动力 (power) 就必须相互抵消。综合起来，《机械力学问题》一书将是否会出现杠杆平衡这种现象的根源归结到杠杆上悬挂的重物受到某种导致旋转的主导动力的作用，并且这种主导动力的大小与物体的重量和承载此物的臂长的乘积成比例，以及当且仅当杠杆两端相反的主导动力相互抵消的时候杠杆处于平衡。 　　可以说，《机械力学问题》的作者在对于杠杆平衡问题的分析中所采用的是古希腊的形式逻辑的思路。《机械力学问题》所给出的杠杆平衡的条件基本上就是现代的力矩平衡原理：两端物体的质量与各自力臂的乘积相等。