开放系统下量子纠缠的制备和应用

第1章量子信息基础 随着信息时代的到来，对于信息处理的需求日益增加。为了突破经典信息技术的物理极限，为人们提供更强大的信息处理能力，量子信息学应运而生。作为量子力学、信息论和计算科学交叉融合的一门新学科，量子信息学受到了国内外的广泛关注，并且发展出了许多具有重要应用价值的科学技术。本章致力于介绍量子信息的基础知识，为后面章节的展开做铺垫。 1.1量子力学基础 量子力学是研宄微观粒子性质和运动规律的科学，是物理学三大基本理论之一。如今，量子力学已经成为现代科学技术、高新技术的理论基础。在本节，首先对量子力学的基础知识进行简单介绍，以便读者在阅读后续相关内容时更顺畅，有兴趣的读者可以进一步阅读量子力学方面的相关书籍。 1.1.1量子力学基本假设 微观粒子的特性一波粒二象性，导致微观粒子的行为和性质与经典粒子大相径庭，20世纪初发展起来的量子力学在描述和预测微观粒子的行为及性质方面取得了巨大成功。量子力学的理论框架主要基于以下五个假设。 假设一 一个微观粒子的状态由波函数完全描述，波函数机也被称为态函数，狄拉克符号法将波函数机记为。 根据量子力学的概率诠释，表示t时刻该微观粒子位于r处的体积元中的概率。因此，波函数必须满足一些特定的数学要求。对于单个粒子，在不考虑相对论效应的情形下，该粒子在全空间内的概率和等于1，即满足归一化条件： (1.1） 假设二 对于经典力学中的每一个可观察物理量，在量子力学中都有对应的一个线性厄米算符来描述。该假设主要是考虑到厄米算符具有完备的本征函数系，可以作为任意波函数的展开基矢，进而在一般的情况下实现波函数的概率诠释。另一方面，厄米算符的本征值是实数，这是可以在实验上进行物理测量的基础。 假设三 对于任意一个可观测的力学（或者说厄米算符）A，在对其进行物理测量时，所得到的值一定是该厄米算符的本征值，并满足本征值方程 (1.2） 这个假设揭示了量子力学的核心——力学量的取值是可以被量子化的（虽然在非束缚态下该力学量的取值仍然有可能取连续值）。如果一个量子系统处于力学量的本征态，对应的本征值为a，那么对该量子系统进行力学量1的测量，其取值永远都为a，但这并不意味着量子系统初始时刻一定是处于力学量J的本征态。一个任意的量子态都可以用力学量4的本征函数系展开，其中满足入也，展开形式如下： (1.3） 其中，n表示本征函数系的维数，可能是有限值，也可能是无穷大。在这种情况下，只知道对力学量1进行测量会得到某个本征值，无法断定具体会是哪一个本征值。当然，根据概率检释，可以知道测量得到ai的概率是展开时本征态呶前面系数的模方。 假设四一个量子系统的波函数（或者说态函数）随时间的演化遵从含时薛定谔方程： (1-4） 薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动状态变化规律的基本方程，无法从更基本的公式或原理推导出来，作为量子力学中的一个假设，其正确性只能由实验来检验。其中，应是系统的哈密顿算符，一般情况下可以由经典哈密顿量丑进行算符化将动量得到，但严格意义上哈密顿算符旮的正确形式要通过薛定谔方程的理论预言和实验结果之间的一致性来确定。 在量子力学里，相同是绝对的。两个电子是相同的，人们不可能用任何方法把它们区分开；两个光子是相同的，人们不可能用任何方法把它们区分开。这种绝对的全同性给微观粒子的波函数的选择带来了极大约束，于是有如下假设。 假设五如果是全同费米子体系，其总体波函数必须是交换反对称的；如果是全同玻色子体系，其总体波函数必须是交换对称的。这里的总体波函数包含空间部分波函数和自旋部分波函数。著名的泡利不相容原理就是全同费米子波函数交换反对称导致的直接结果。 应该说明，在不同的书中，对量子力学的基本假设有不同的表述，也有的书中总结为四个或者六个基本假设，其所包含的内容均大同小异，此处不再逐一介绍。 量子力学的主要数学工具是希尔伯特空间，即满足加法、数乘和内积运算规则的复内积空间。一个微观粒子的运动状态，即量子态是希尔伯特空间中的一个向量。希尔伯特空间是一个抽象空间，空间中的任一向量在数学上都用一组复数坐标表达，其中，就是（1.3）式中的系数，上标T表示转置。但是这一组数和经典粒子状态空间中的大不相同。从数学上看，和都是实数，而，都是复数；从物理上看，和是可以直接测量的物理量，而，是不可以直接测量的，它们只是给出了测量结果出现的概率。 1.1.2量子关联 1.量子纠缠 假设两个子系统A和B的希尔伯特空间分别为Ha和丑b，对于一个由A和B两个子系统所组成的复合量子系统，其希尔伯特空间为A和B两者的张量积。假设两个子系统A和B的量子态分别为和|，倘若复合系统的量子态满足下式： (1-5） 则称这种形式的量子态为乘积态（product state）。此时量子态具有可分性，所以也叫可分态，对子系统A做测量，不会影响到子系统B；反之亦然。 如果子系统A和B之间存在相互耦合，各个子系统所拥有的特性综合成为整体性质，复合系统的量子态不能像（1.5）式那样写成单独一项的直积，必须用多项直积态的叠加表示。此时量子态不具有可分性，不是乘积态，而是纠缠态假设Ha和都是二维的希尔伯特空间，和是子系统A中可观测量的本征态，对应的本征值分别为0和1，它们构成一组规范正交基。和是子系统B中可观测量的本征态，也构成一组规范正交基，下列形式的量子态就是一个纠缠态 (1.6） 现在对子系统A中的可观测量dA进行测量，根据量子力学中的基本假设，测量所得的结果可能为0或1，概率均为50%。 **种情况:可观测量6k的结果为0，(1.6）式所示的量子态：W缩为，那么，对可观测量进行测量所得的结果为0。 第二种情况:可观测量的结果为1，(1.6）式所示的量子态；W缩为，那么，对可观测量进行测量所得的结果为1。 由此可见，对子系统A进行测量（这是一种局域操作）已经改变或者说决定了子系统B的测量结果，尽管子系统A、B可能距离很远，这种影响也一样会瞬间发生。这就是两个子系统间的量子纠缠现象，爱因斯坦将这种现象称为鬼魅般的超距作用。量子纠缠是一种纯量子现象，在经典物理学中没有对应。学术界普遍认为量子纠缠刻画了量子系统的非经典特性或者说非经典关联，是区分量子和经典的重要判断依据。值得注意的是，由于子系统A的测量结果具有随机性，所以测量前无法判断复合系统会坊缩到哪个态，也就无法以超光速的形式传递信息，因此，量子纠缠没有违反因果性。 纯态是否存在量子纠缠比较容易判断，但是更一般的情形是复合系统处于混合态。所谓混合态就是由几种纯态按照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态、的概率分别为叫、则这个混合态量子系统的密度算符p表示为 (1.7） 并且满足所有概率的总和为1，即； 根据混合态的定义，可对先前纯态的可分性进行推广，如果有一个两体混合态的密度算符可以表示成 (1.8） 则称该混合态具有可分性，是一个乘积态，没有量子纠缠。反之，则该混合态具有不可分性，是一个纠缠态。 在量子信息理论中，量子纠缠被认为是一种“物理资源”，它能够在只有局域操作和局域通信的环境中实现量子信息处理（QIP），例如量子隐形传态、量子密集编码和量子计算等。 2.量子失协 在量子信息论中，量子失协（quantumdiscord）也是度量两个量子系统之间存在非经典关联的重要方式。虽然量子纠缠和量子失协都刻画了量子系统的非经典关联，但是两者之间有所区别：前面所述的可分态一定不具有量子纠缠，但是有可能存在量子失协，量子纠缠、量子失协和可分态的关系可由图1.1表示。 Harold Ollivier和Wojciech H.Zurek以及Leah Henderson和Vlatko Vedral分别独立引入了量子失协的概念。Olliver和Zurek也将其称为关联的量子性度量。从这两个研宄小组的工作可以看出，量子关联可以存在于某些混合可分离状态中；换句话说，可分离性并不能作为判断是否存在量子关联的充分条件。因此，量子失协的概念超越了早先在纠缠与可分离（非纠缠）量子态之间做出的区分。除此之外，量子失协在抵抗量子退相干方面明显优于量子纠缠。量子失协还可用于实现确定性单比特量子计算[22]，亦可作为远程量子态制备的一种物理资源[23]，*近的工作[24]将量子失协确定为量子密码学的一种资源，能够在完全没有纠缠的情况下保证量子密钥分发的安全性。 1.2量子信息传输 信息传输在通信领域具有重要的地位，不能传输信息的信道没有实用价值。在量子信息领域，所谓的信息指的就是量子态所包含的全部或者部分信息。假设爱丽丝（Alice）拥有一个量子态細），这种类型的量子态非常容易制备，如光子的偏振态。如果爱丽丝想将该量子态的信息传送给远方的鲍勃（Bob），她可以有以下三类不同的方法[25]。 1.纯经典传态 如果爱丽丝完全知道这个量子态的叠加系数和，在这种情况下，她可以利用电话等经典通信手段把这两个系数告诉鲍勃，鲍勃根据这两个系数将自己手上的一个光子制备成态。这个方法只用了经典信道，因此把它叫做纯经典传态。 2.纯量子传态 如果爱丽丝不知道这个量子态的具体信息，这种情况下她可以通过量子信道(传输量子态的信道称为量子信道，量子信道可以是光纤等物质）直接将这个光子传给鲍勃。此方法只用了这种量子信道，因此把它叫做纯量子传态。 3.量子隐形传态 如果爱丽丝不知道这个量子态的具体信息，但初始时她和鲍勃之间共享了一个量子纠缠态，同时利用经典信道和量子信道可以实现将该未知量子态的信息完美传输给鲍勃（在不考虑噪声的前提下），具体方法见1.2.2节。 1.2.1量子态传输 量子态传输，即上文提到的纯量子传态，提供了一种将任意量子状态从一个系统发送到另一个系统的方法[26]。这对将量子信息传输到量子存储器、量子处理器和量子网络至关重要。量子态传输不仅可用于在两个计算组件之间传输量子信息，还可以改变量子互联网中的纠缠分布。量子态传输的协议由发送任意量子态的发送者爱丽丝和接收转移状态的接收者鲍勃描述。不失一般性，量子态传输过程可以使用全局量子信道人来描述，如此一来，发送态和接收态之间的关系可以表示成如下映射过程： (1-9） 其中，指鲍勃的初始态。如果全局量子信道人是一个幺正信道，那么鲍勃可以通过相应的逆幺正操作完美地恢复发送态。然而，考虑到噪声的影响，量子信道人一般不是一个么正信道，鲍勃所接收到的态和发送态不完全相同。 1.2.2量子隐形传态 量子隐形传态是一个简单而又神奇的量子通信方式。它通过分享一对纠缠，将一个未知量子态从发送者传给接收者。其具有信息容量大、可靠性髙的优势。图1.2示意地描述了量子隐形传态的主要思想。 量子隐形传态所需的资源包括一个能够传输两个经典比特的经典信道和共享的两个量子比特*大纠缠态。爱丽丝对待传送的量子比特和纠缠态中的一个量子比特执行联合测量，并告知鲍勃结果，鲍勃操纵纠缠对中另一个量子比特的状态