生物数学微分方程模型的分析方法

第1章单变元模型 1.1一阶自治常微分方程的定性分析 表示一种事物随时间或其他变量变化的*简单的数学模型是一阶单变元微分方程(first order scalar ordinary differential equation)，其中自治方程(auton omous equation)有如下形式: (1.1) 在这里，是一个可微函数，y0是初始值(initial value). (1.1)可用以下方法处理: (1)解析方法(analytic method)，即求出方程的解的公式，例如 但是当f(y)为非线性函数时，一般很难得到显式解. (2)数值方法(numerical method)，用近似公式 可将(1.1)化为如下差分方程 (1.2) (1.2)很容易用计算机迭代算出.这种迭代方法也被称为Euler方法.差分方程和数值解将在1.3节专门介绍. (3)定性方法(qualitative method)，即不把方程的显式解求出，但利用解的性质来得到问题的答案. 平衡解(equilibrium)是(1.1)形为y(t)=y0的常数解，其中f(y0)=0. 相线(phaseline)是(1.1)解的渐近行为的一种直观表示图. 例1.1 (1.3) 平衡解为y=0，y=1和y=3，其相线和解曲线见图1.1. 图1.1(1.3)的相线和解曲线 渐近行为(asymptotic behavior)是方程解当时间趋于无穷的行为，当时，可以是解，也可以是导数. 例1.2(1) (1.4) 虽然解很难求出，但是从相图(图1.2(a))可以看到，解的定义域为， 并且 即解收敛到一个平衡解(converges to an equilibrium). (2) (1.5) 的解是y(t)=et，其定义域为(图1.2(b))， 即解在无限时间内趋于无穷大(tendsto infinity in infinite time). (3) (1.6) 的解是，其定义域为，而当.时，y(t)在有限时间爆破(finite time blow up)(图1.2(c)). (4) (1.7) 的解是，其定义域为(图1.2(d))， 即解在有限时间内导数爆破(derivative blows up in finite time). 图1.2四种解的渐近行为 事实上自治方程(1.1)的解的行为可以概括为以下基本定理. 定理1.1考虑方程(1.1)， (1)如果f(y)在y=y0附近Lipschitz连续，则存在ε>0使得(1.1)在中有一个解y(t); (2)如果f(y)在y=y0附近连续可微，则存在ε>0使得(1.1)在中有唯一解y(t); (3)解y(t)可以被延拓到一个*大存在区间; (4)如果f(y)在R上连续可微，则y(t)在其定义域上或为严格单增函数，或为严格单减函数，或为一平衡解; (5)如果f(y)在R上连续可微，则y(t)在其定义域的端点的渐近行为只可能为以下四种: (a)趋于一个平衡解，(b)趋于无穷大，(c)爆破，(d)导数爆破. 方程(1.1)相线的画法: (1)先画出一条水平或垂直的直线段; (2)求出f(y)的零点、不连续点或定义域以外的点; (3)在零点、不连续点和非定义域点分成的每个线段上按f(y)的符号画出箭头:若f(y)0，则为. 图1.3是相线的几个例子. 图1.3平衡解的类型 设y0是(1.1)的一个平衡解，如果存在δ>0使得对任意的，以y为初值的解满足，则平衡解y0是稳定的，或称为一个汇(sink);而如果存在δ>0使得对任意的，以y为初值的解满足.或称为一个源(source);既不是汇又不是源的平衡解称为结点(node). 一个平衡点的类型很容易从相线在平衡点两侧的箭头方向来判断.但是在应用问题中，我们更需要先判断平衡点类型，然后从中得到相线方向，因此，下面的线性化定理是有用的. 定理1.2考虑方程(1.1).设f(y0)=0，f(y)在一个小区间上连续可微，那么: (1)若f′(y0)0，则y0是一个源; (3)若f′(y0)=0，我们无法判断该平衡点的类型. 1.2一阶一元常微分方程的分歧 一个微分方程解的渐近行为随参数变化发生了类型的变化，我们称之为分歧现象(或分支、分枝、分叉)(bifurcation). 例1.3考虑下述方程: (1.8) 在这里，y(t)代表一个生物物种的个数，而h代表该生物在单位时间内被人类猎取的数量.求(1.8)的平衡点得到 h=1/4是(1.8)的分歧点，当h1/4时(1.8)没有平衡点.事实上，(1.8)的平衡解满足h=y(1 y)，那么h=y(1 y)在h-y坐标系上的图像可以认为是一个分歧图(bifurcation diagram).分歧图也可以看成是一组不同的相线的集合.这里我们用垂直方向的相线，那么水平坐标h是参数坐标(见图1.4(a)). 图1.4方程(1.8)的分歧图和解的图像 若我们考虑以y(0)=1/2为初值的解yh(t)，那么当h1/4时，yh(t)在有限时间内变为0(事实上会在有限时间爆破到. 一般来说，对于一个含参数的方程: (1.9) 可以通过解如下形式的方程组: (1.10) 得到(λ，y)，λ为可能的分歧点，y为发生分歧的平衡解坐标. 例如，对于方程(1.8)，从可求得(h，y)=(1/4，1/2).从图1.4可以看到分歧是在抛物线与h轴相切的时候发生. 因为在后面我们会详尽地描述更一般形式的分歧理论，所以我们不对一维的情况做更多介绍.这里只是用例子指出几种基本的分歧类型. 例1.4(1)例1.3中的方程(1.8)的分歧称为鞍结点分歧(saddle-node bifurcation)，典型的鞍结点分歧示意图见图1.5(a).参数在分歧点一侧时，方程有两个平衡点，另一侧没有.这类分歧图在分歧点附近是抛物线的形状.对于更一般的方程(1.9)，鞍结点分歧发生的充分条件是(分歧点为(λ0，y0))(1.10)中的两个方程和 (1.11) (2)考虑下述方程: (1.12) 图1.5典型分歧图