理论最小值:量子力学

第1讲 系统与实验
自旋与量子比特
粒子物理学中引入了“自旋”（spin）这一概念。除了空间中的位置，粒子还有其他属性，比如，它们可以带电，也可以不带电；可以有质量，也可以没有。一个电子当然不同于一个夸克或者一个中微子。但即便是同类型的粒子，只用位置并不能描述它的全部信息。还是来说说电子吧，电子拥有一个额外的自由度，被称作自旋。从*朴素的角度来说，自旋可以图像化为一个带指向的小箭头，但这个朴素图像过于经典，无法精确地表现真实的情况。电子的自旋大概是*具量子力学味道的物理系统了，对它进行的任何经典力学图像化的尝试都将不得要领。
我们可以抽象出自旋这一思想，然后忘掉它原本是附着在电子上的，量子自旋本身就是一个值得研究的系统。实际上，这个从电子身上剥离下来的量子自旋，正是*简单又*具特色的量子系统。
孤立的量子自旋正好给出了一类简单系统的例子，我们称之为量子比特（qubit），它在量子世界中扮演的角色恰如计算机中用来定义状态的逻辑比特。很多系统，甚至可能是所有系统，都能通过量子比特的组合方式来构造。因此在学习它的时候，我们同时也在学习更多量子比特之外的内容。
实验，以及不断重复
让我们用尽可能简单的例子来具体化这一思想。在《理论*小值：经典力学》的第 1 讲中，我们的讨论始于一个非常简单的确定性系统：一枚硬币，它只能显示正（H）或反（T）两个面。我们称其为带有H和T两个态的双态系统，或者比特。更加形式化地，我们引入一个“自由度”σ，它可以取两个值：+1和-1。H态可以表示为：
σ = + 1
而 T 态则可以表示为：
σ = -1
在经典力学中，这就是态空间的全部内容。系统要么处于态σ = + 1，要么处于态σ = -1，不会处于两者之间。在量子力学里，我们认为这样的系统是一个量子比特。
《理论*小值：经典力学》也讨论了一些简单的演化定律，它告诉我们态如何从一个时刻变化到另一个时刻。*简单的定律就是没有任何变化，如果我们从某个离散的时刻n
进行到下一个时刻 n+1，演化的规律可以写作：
σ (n + 1) = σ (n) （1-1）
现在让我们挖出在《理论*小值：经典力学》中未被关注的隐藏假设：一次实验中涉及的东西超出被研究的系统本身，还包括了用于测量的仪器 和测量结果的记录。对于双态系统来说，仪器会和（自旋）系统相互作用，并记录σ的值。把仪器想象成一个黑箱，黑箱有一个用来显示测量结果的窗口，外边还有一个向上的箭头。向上的箭头很重要，它表示了仪器自己在空间中的指向，而这个指向将会影响测量结果。我们先让它指向z轴方向（如图1-1 所示）。
初始时，我们并不知道是σ = +1还是σ = -1，我们的目的就是做一个实验来找到σ的取值。
在仪器和自旋发生相互作用之前，窗口是空白的（在图中标记为问号），当对σ进行了测量之后，窗口显示出+1或者-1。通过读取仪器，我们就能测量出σ的数值。这一整套过程就构成了一个用于测量σ的非常简单的实验。
现在我们已经测量过一次σ了，然后把仪器重置到初态，而不去扰动自旋，再次测量σ的数值。假设演化定律遵从公式1-1，我们应该得到和**次相同的结果。如果之前为σ = +1，第二次还是σ = +1；反之都是σ = -1。无论重复多少次测量，结果都将是一样的。这是件好事，因为可以用这种方法来确认实验的结果。换句话说就是：与仪器的**次相互作用把系统制备到了两个态中的一个，后续的实验则确认了这个态。到目前为止，经典物理学和量子力学之间还没有差别。
接下来让我们玩点新东西。在使用仪器 测量自旋也就是制备好系统之后，我们将仪器倒置，再次测量σ（如图1-2所示）。如果原先制备的是σ=+1，我们会发现倒置的仪器测量的结果是σ =-1。类似地，如果原先是σ = -1，倒置的仪器记录的是σ = +1。换句话说就是，倒置仪器使得σ =+1和σ = -1 发生对换。根据这些结果，我们可以得出结论：σ是一个与空间方向相关的自由度。举例思考，假如σ是某种带指向的矢量，那么我们很自然地期待倒置仪器会得到一个相反的读数。有一个简单的解释是：仪器所测量的正是矢量在该仪器内嵌方向轴上的分量。但这样的解释在所有的情况下都说得通吗？
如果我们认定自旋是一个矢量，那我们就可以很自然地使用三个分量σx 、σy和σz来描述它。当把仪器指向上方时，我们就是在测量σz 。
到目前为止，量子力学和经典力学之间还没有差别。只有当我们把仪器转动到某个任意的角度时差别才出现，比如弧度 π/2（90°）。仪器在开始时指向上方（向上箭头指向z轴方向），自旋被制备到σ =+1。接着转动仪器 使得向上箭头指向x轴方向（如图1-3所示），这自然是在测量自旋的x分量σx。
如果σ真的代表一个矢量在向上方向上的分量，那结果应该为0。为什么呢？起始时我们可以确定σ是指向z轴方向的，自然说明它在x轴上的分量为0。但令我们惊讶的是，我们测出的σx并不是σx=0，而是σx=+1和σx =-1两者中的一个。无论仪器被转到了什么方向，它都绝对不会给出σ =±1之外的任何答案。如果自旋真的是个矢量的话，那也算是非常奇特的一个了。
尽管如此，我们还是发现了一些有趣的东西。假定我们依照下列步骤重复操作很多次，即：
● 开始时 指向z轴方向，制备到σ=+1。
● 把仪器旋转到x轴的方向。
● 测量σ。
重复这个实验，仪器将吐出一串包含+1和-1的随机序列。也就是说，决定论（determinism）被打破了，而且是以一种特别的方式打破的。如果我们重复的次数非常多，就会发现σ =+1的事件数和σ = -1的事件数在统计上是一样多的。换句话说，σ的平均值是 0。经典的结果应该是σ在x 轴上的分量为0，我们发现这个结论要被取代，变成：多次重复实验的平均值为0。