高等数学学习指南

第〇章绪论 学习目标导航 知识目标 高等数学课程内容的整体结构; 高等数学课程的考核方式. 认知目标 A.初步制定高等数学课程的学习策略; B.了解高等数学的知识的整体结构、数学文化、数学方法. 情感目标 认同高等数学学习的重要性，坚定学好高等数学的信心. 学习指导 数学是科学大门的钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的.更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，*终将导致无法寻求任何补救的措施. ——罗杰 培根 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的*高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里. ——恩格斯 高等数学是基于微积分学这一经典数学理论发展而来的大学基础课程，具有高度的理论性、抽象性、系统性和应用的广泛性，各章节内容之间具有明显的连贯性和系统性，在学习时仔细体会这种脉络关系，能够加深对课程内容的理解和记忆. 2高等数学学习指南 1.从构建自我知识体系的角度来讨论学习 事物是普遍联系的，同样知识之间更是存在联系.人类的记忆规律表明，凌乱的孤立的知识点通常记忆不深刻、不长久，而经过自我加工(包括归纳、推理、联系等)后的知识点则记忆牢固.梳理过的知识点通过相互之间的联系形成网络，运用知识时是系统的、发散的，往往对于解决一些疑难问题更见成效. 图1.0.1自我知识体系的构建过程 将新知识与已有知识建立联系这个过程并不容易，联系的紧密性随着理解的深刻程度而加强.而理解新知识是学习新知识的*基本要求.高等数学课程中，加深对知识理解的途径通常有:1结合例题思考概念、定理或算法等程序性知识;2同学之间研讨交流或向教师请教;3阅读发现史，例如阅读微积分理论产生和拓展的历史过程，跟随数学家一起发现知识;4对与之相关的实际问题的探究，运用所学知识解决实际问题等. 通过多种途径理解新知识后，随着时间的流逝和搁置的状态，将面临“遗忘”的挑战.与遗忘作斗争的方式有两种:一种是不断地去运用学到、理解的新知识去解决问题;一种就是通过总结归纳梳理新知识，与脑海中已有知识相对比，建立联系，使之融入自己的知识网络.学习高等数学，通常需要两种方式综合运用，既要加深对知识的记忆，又要增强知识应用的灵活性.整个过程体现到学习者身上，就是学习者的学习力和记忆力.学习力、记忆力是学习者的基本能力，对能够取得好的学习效果至关重要. 上述学习方法对于学习者今后学习大多数课程而言，是通用的. 图1.0.2描述了高等数学课程内容中的6个模块，分别对应着教材的不同章节，读者在看书学习的时候要结合着整个模块从宏观上把握知识点的联系和脉络. 2.高等数学课程的学习建议 人类的学习具有明显的个体差异性，但是同样也存在突出的规律性.关于高等数学的学习建议总结为一个方法论、两个基本要素和若干实施策略.三者的重要程度依次下降，其中方法论、基本要素决定了学习者学习高数达到的境界，起到方向指引作用，若干具体的实施策略可以根据自己的实际情况选择性调整. 图1.0.2高等数学课程的主要内容 1)方法论:内外兼修、阴阳相辅 高等数学课程的学习亦符合中国传统哲学的观点，好比修炼绝世武功，内功、外功修炼缺一不可.学习高等数学，也要修炼好“内外”“外功”.那么，什么是高等数学课程修炼中的“内功”与“外功”呢？所谓“内”，可视为“阴”，是指不能忽视在课程学习过程中对数理思维、数学的文化价值、美学价值与哲学价值的感悟和培养，通过修炼深刻把握和理解数学概念的本质内涵，养成用数、量的视角观察、研究和改造客观世界的认知习惯，这就是“真气”运转的规律.以未来战争中的指战员为例，通过高等数学等课程修炼的深厚“内功”，使其在作战中思路更为清晰，对敏感信息的把控、深算精算、精准指挥的火候更足. 所谓“外”，可视为“阳”，是要主动和善于训练自己的运算能力、逻辑推导能力和技巧，熟记基本知识和基本算法.例如需要熟练掌握三种基本运算技能，分别是极限运算、求导运算和积分运算，这些运算可以视为在逻辑规则约束下，对数字的转换、推导与变向的一种“数字游戏”.“外功”的修炼需要在理解运算法则的基础上进行刻意练习，不断打磨并积累经验，做到熟能生巧. 高等数学学习的“内功”“外功”修炼，相辅相成，缺一不可，“内功”弱则灵感不足，“外功”弱则眼高手低. 2)两个基本要素:态度和独立思考 每个人在面对新问题、新知识时，都有一个自我系统在发挥重要作用.自我系统决定的是学习动机问题，用来决定是否解决新问题、学习新知识.若要真正学好知识，首先应当端正学习态度，并在勤奋的基础上不断独立思考、深度思考，坚定学好信念.一些观点认为，学习新知识的过程，是大脑神经元产生与相互搭建的过程，是个“辛苦”的过程，只有付出了辛勤的努力和汗水，收获的果实才更为甘甜，更为高阶的兴趣和自信也会随之酝酿，所以，要不断挑战自我，打破学习的舒适区，使新知识与原有知识联系起来，构筑起自己的知识体系. 3)若干实施策略 (1)提升学习过程的质量.要积极规划自己的学习过程，循序渐进.仅仅上课听懂还不够，一方面还要通过作业题来检测自己，通过作业题来深化、夯实学习效果，遇到不会的，通过研究、讨论或寻找答案搞懂;另一方面，要结合自己的理解去进一步深挖这堂课中数学概念、定理的内涵，想一想实际生活中有哪些事物、道理跟其相似，不断地进行深度思考.随着所学内容增多，稳扎稳打，稳步推进，才不会导致知识遗忘、混淆甚至是混乱的状况出现. (2)关于做练习.学好高等数学这门课程，做一定量的习题是必要的，但是我们做题要讲究策略.要重视教师给你提供的习题.当做完题目之后，可以适当抽出时间来思考一下题目的特点，主要考查哪方面的概念与知识，采用了什么样的思路和方法，这种解题思路和方法是怎样想到的，是否具有普遍性，能否抽象、固化成一种“套路”.另外一些基础性的公式、定理(求导公式、积分公式、中值定理、常见的函数展开式等)在掌握推导方法的基础上，需要牢牢记住. (3)关于读书.“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”鼓励我们不怕吃苦地多读书，但是学习者基础课程学习期间，课程满，时间紧，所以即便学习者想发扬钉子精神，投入更多的时间和精力放到高等数学学习上，借阅大量高等数学辅导书去看，也会影响到其他各方面的任务要求.更科学的方式是努力去提高学习效率，对于课外辅导书而言，是“多则惑，少则得”，选定一本将其读“薄”，完成之后再把自己学习过程中的体会、感悟、归纳出来的方法思路添加进去，尝试读“厚”，使之丰富起来. (4)树立终身学习的意识.无论是学习数学也好，还是其他知识，只要想进步，想收获更好的人生，就得不断学习！不能仅仅将眼光局限在自己的身边、自己周围的小环境，要努力提升看待问题的格局，将视野置于更为宽广的前提下权衡自己当前的状态和行为效益. 在高等数学课程的学习中，希望学习者不要在学习过程中产生各种畏难情绪，遇到学习问题迎难而上，磨炼意志，按照更加科学的方法开展学习活动，努力找到学习兴趣，充分感受数学之美，体会数学学习路程上的美好风光，培育和增强自己的数学素养. 课后思考 1.绘制高等数学课程的知识体系框架图. 2.写出本门课程的考核方式. 3.梳理中学阶段学习数学的方法，规划高等数学课程的学习计划，与教师、同学讨论课程的学习策略. 4.网络检索:什么是数学建模？了解全国大学生数学建模竞赛，体会利用数学解决现实问题的方法、步骤和优势. 5.简要阐述: (1)对自己的学习期望; (2)对教师如何开展教学的期望. **章空间解析几何与向量代数 千里之行，始于足下.——老子 1.1空间直角坐标系向量代数 学习目标导航 知识目标 空间直角坐标系; 向量(vector)的概念及其表示、向量的坐标表示、单位向量、方向角与方 向余弦(directioncosine)、向量的模(norm;module)、向量的代数运算; 数量积(dotproduct;scalarproduct，又称点积、内积、标量积)、向量积(crossproduct，又称叉积、矢积、外积). 认知目标 A.能说出向量的概念以及向量的线性运算，利用坐标作向量的代数运算、求向量的模、方向角、方向余弦; B.能够计算向量的数量积和向量积，会用坐标表示进行向量运算，能够说出两个向量垂直、平行的条件. 情感目标 认同高等数学学习的重要性，坚定学好高等数学的信心，培养几何直观能力，提升问题转化能力，体会事物之间的联系和转化的关系.培养几何直观能力，观察问题、分析问题的能力和计算能力.