数学物理方法

第1章 复变函数论 人类探索自然的过程总是一个不断将自己放在更广泛的背景下进行研究和求索的过程。同样，数学的发展也是这样一个过程：*初人类只知道自然数，随着实践和数学研究及应用的向前发展，逐渐扩展到整数、有理数乃至整个实数域。我们之前所学的实变函数正是定义在实数域上。我们经常碰到一个实函数，这个函数的定义域是非负实数。在实变函数论中，负数方根是没有意义的。然而，人们在对一元三次和四次方程的根式进行研究时发现不可避免地会面对负数方根的问题。这意味着必须对数域进行必要的扩展，这就得到了复数域。 本章将简要介绍复数及复变函数，并对复变函数的微分和积分特性及其应用进行讨论。 1.1 复数 1.1.1 复数的定义 为了得到复数域，我们首先必须对负数方根做出定义。为此，人们引入了虚数单位 (1.1.1) 形如z=x+iy的数称作复数，其中x和y均为实数，它们分别称为复数z的实部和虚部，记作 (1.1.2) 所有可能的复数集合在一起就构成了复数域。 两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2，只有当它们的实部和虚部分别相等时，我们才可说这两个复数是相等的，即 (1.1.3) 如果两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的实部相等x1=x2，而虚部相差一个负号，则称这两个复数互为共轭复数，记为或。换言之，对于复数z=x+iy来说，它的共轭复数为 (1.1.4) 1.1.2 复数的运算 当给出了复数的定义后，我们接下来就要给出复数之间相应的运算法则。 (1)加法两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加法为 z=z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2)，(1.1.5) 即两个复数实部的和为新的复数的实部，两个复数虚部的和为新的复数的虚部。复数的减法计算亦如此。由上式不难看出复数的加法满足交换律和结合律。 (2) 乘法两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的乘法可如下计算： (1.1.6) 从这里也不难看出复数的乘法同样满足交换律、分配律和结合律。复数乘法中一个有趣的例子是一个复数z=x+iy与它自身的共轭复数相乘 (1.1.7) 我们看到它是一个实数！它的几何意义我们会在稍后介绍，而它的实数性对于我们接下来计算复数的除法有很大的帮助。 乘方运算只是乘法的一个简单推广，譬如，zn就是将n个z相乘。这里我们就不再赘述。 (3) 除法两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2，如果z2=0，则可以计算下列除法。 (1.1.8) 为了得到这个运算的结果，即为了写出所得复数的实部和虚部，我们就需要通过某种方法将分母实数化。对上式的分子和分母同乘以分母的共轭复数就可达此目的 (1.1.9) 于是我们就可看出此复数的实部和虚部分别是 (1.1.10) 例1.1.1 指出下列复数的实部和虚部 (1.1.11) 解 对此问题，我们首先要将分母实数化，这需要找到分母中复数的复共轭，然后上下同乘之，即 (1.1.12) 因此我们就得出Rez=1/5，Imz=7/5。 1.1.3 复数的几何表示 1. 复平面从上面所讲复数的定义中可以看到，一个复数可以用两个实参量来确定，即它的实部和虚部。据此，我们可以用一个二维平面来表示复数域，这个平面就称为复平面，面上的每个点代表一个复数。该复平面上直角坐标系的横轴表示复数的实部，称为实轴；纵轴表示复数的虚部，称为虚轴。见图1.1. 图1.1 复平面 例1.1.2 有两个复数z1和z2，证明 (1.1.13) 解 对这个问题的证明有两种方法：一种是几何的方法，而且也是*简单的方法。当我们在复平面上将z1、z2和z1+z2这三个复数画出来后，由图1.2我们不难看到这三个复数通过平移可构成一个三角形或是排在同一直线上，因此利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可轻易证得。 图1.2 两个复数的和 另一个是用代数的方法。我们知道 (1.1.14) 由于和相互共轭，有 (1.1.15) 于是我们有 (1.1.16) (1.1.17) 设 (1.1.18) 则有 (1.1.19) 因此，得 (1.1.20) 即 (1.1.21) 这个结果可以很轻易地推广为 (1.1.22) 2. 复数的模和辐角一个二维平面不仅可以用直角坐标来描述，同样也可采用极坐标来表征。因此，我们也可用极坐标的两个参量(ρ，θ)来标定一个复数，它们与该复数的实部和虚部(x，y)的关系如下： x=ρcosθ，y=ρsinθ。(1.1.23) 由此，我们可以得到复数的三角函数表达形式 (1.1.24) ρ称为该复数的模，表示该复数距原点的距离或该复数的“绝对值” (1.1.25) θ称为该复数的辐角 (1.1.26) x记作θ≡Argz≤Argz<2π时，记为argz，于是 θ=Argz=argz+2kπ(k=0，±1，±2， )。 注意 三角函数的周期性意味着一个复数所对应的辐角不是唯一的，如果一个复数的辐角为θ，则2nπ+θ也都是它的辐角(n为整数)，这就是辐角的多值性。 借助复数的模和辐角的表达式，我们来检视一下两个复数乘积的模和辐角与这两个复数的模和辐角的关系。设z1=ρ1(cosθ1+isinθ1)，z2=ρ2(cosθ2+isinθ2)，则 (1.1.27) 即两个复数相乘，所得复数的模为这两个复数的模的乘积，而其辐角为这两个复数辐角的和。由此类推，利用归纳法不难证得，对于n个复数{zl=ρl(cosθl+isinθl)，l=1，2， n} 的乘积，我们有 (1.1.28) 利用欧拉公式 (1.1.29) 由复数的三角函数形式我们就进一步得到了复数的指数函数形式 (1.1.30) 欧拉公式的两种简单证明 证明一 我们知道，指数函数eax的泰勒级数展开是 (1.1.31) 当把a=i以及x=θ代入上述展开式并对实部和虚部进行归并后，我们有 (1.1.32) 从这个式子，我们不难发现，方程右边的实部正是三角函数cosθ的泰勒级数展开式，而虚部正是sinθ的泰勒级数展开式，于是我们就得到了 eiθ=cosθ+isinθ，(1.1.33) 这正是我们上面给出的欧拉公式。 证明二 首先，由于，所以有。其次，我们知道，作为复数，eiθ一定可以一般性地表示成 (1.1.34) 这个表达式中的模ρ和辐角α都是θ的函数。这个方程的两边同时对θ求导，得 (1.1.35) 它可进一步写为 (1.1.36) 方程两边实部和虚部分别相等就给出了关于和的一个二元一次方程组，不难求得而，也即而，其中C和C0为两个待定的常数。当θ=0时我们有ei0=1，由此我们就可确定出C=1而C0=0，于是就再一次得到了上面提到的欧拉公式。 复数的指数函数形式使得关于复数的运算变得相对简单，例如，对于复数的乘法，有 (1.1.37) (1.1.38) 这与我们之前的结果一致，而计算过程则大大简化。对于一个复数z的n次方，类似地，我们有 (1.1.39) 这就是棣莫弗(deMoivre)定理。 灵活运用棣莫弗定理可以帮助我们通过复数的运算来简化很多实数计算，如下面这个例子。