大学数学应用问题集锦

第1章一元函数的导数 1.1直接求导 1.1.1极坐标和球坐标中质点的动能 设平面上一个质量为m的质点的位置为，则它的动能为，其中表示对时间t的导数. 在平面上还可以用极坐标，它与直角坐标的关系为 (1.1) [问题]证明:在平面上，有 (1.2) [解答]由直角坐标同极坐标的关系得 所以 同样，设空间一个质量为m的质点的位置为，则它的动能为.在空间还可以用球坐标(r，θ，φ)á，它与直角坐标的关系为 (1.3) [问题]证明:在空间，有 (1.4) [解答]由直角坐标同球坐标的关系得 所以 1.1.2平面旋转坐标系中的惯性力 当汽车刹车时，人会向前倾.从地面上看，这是由于人有惯性.然而，如果将车密闭，车上的人也可以认为除了重力外，他突然受到了一个向前的力，车上的人感觉到的这个向前的力称为惯性力.地面所在的参考系是惯性系，从地面上来看，这个力是完全没有的.但是，刹车时车子所在的参考系并非惯性系，为了在此参考系中仍能使用Newton(牛顿)运动定律，必须引入这个假想的惯性力à.本小节考虑在匀速旋转参考系中的相应问题. 设有一个水平放置的转盘，上面放有一个相对转盘静止的物体，物体上有一根线连在转盘的中心.当转盘转动时，线上会产生张力，以防止物体被甩出.从地面上看，要使物体做圆周运动，必须给它施力，这就是线对物体施加的向心力.但从转盘上看，物体处于静止状态.由于转盘参考系不是惯性系，为了仍能使用Newton运动定律，通常引入一个假想的惯性力——惯性离心力，它同向心力大小相等、方向相反.于是，从转盘上看，物体静止不动的原因是惯性离心力和线的拉力相平衡了. 如果物体在转盘上运动，情况就比较复杂了.从转盘上看，它除了受到假想的惯性离心力的作用外，还受到另一个假想的惯性力——Coriolis(科里奥利)力的作用.如果用向量来讨论这个问题会比较复杂，而对于平面运动，用复数来讨论会简单得多. 设转盘以恒定角速度ω逆时针旋转.我们用复数表示向量，将旋转中心作为复平面的原点.如果在地面参考系中，质点的位置为，所受的外力为，在转盘参考系中，质点的位置为，所受的外力为，则有. [问题]将地面参考系中的Newton运动方程改写为转盘参考系中的方程. [解答]在地面参考系中，Newton运动方程(即Newton第二定律)为 其中m是质点的质量.转换到转盘参考系中，则有 将上式左边展开得 即 这就是转盘参考系中的Newton运动方程. [说明]等式右边的**项就是外力;第二项是惯性离心力，它的大小为，方向从转盘中心指向质点;第三项称为Coriolis力，它的大小为，其中是质点的速度，Coriolis力的方向垂直于v，并且从v沿转盘旋转相反方向转过90 见下图. 由于地球有自转，地球上任何运动的物体都会受到Coriolis力的作用.在地理学上，Coriolis力也称为地转偏向力.北半球的河水受到向右的Coriolis力的作用，使得河道的右侧冲刷较严重.另外，北半球的火车通常规定在左侧的轨道上行驶也是因为以前要减少Coriolis力对路基的影响，因为北半球的火车受到向右的Coriolis力的作用，当双线轨道上的火车在左侧轨道上行驶时，会将轨道向右推，从而将路基向内推紧，如果在右侧轨道上行驶的话，则会将路基向外推松. 一般地，在三维空间中，如果质点的速度为v，参考系相对惯性参考系的角速度为ω，则质点所受的Coriolis力为2mv×ω，详细讨论请参见6.2.3小节. Coriolis力*直观的表现是Foucault(傅科)摆.1851年，Foucault在巴黎的先贤祠将一个质量为28千克的大铁球悬挂在67米长的钢缆上，形成一个能摆动很长时间而不停止的单摆.在Coriolis力的作用下，摆动平面会以恒定的角速度旋转，转动一周约需32小时.下面来分析这一过程. Foucault摆在摆动过程中，惯性离心力几乎不发生变化，可以将其归于重力中.同时，当摆动角度较小时，可近似看作为直线运动.如下图.在摆所在地建立直角坐标系，x轴与纬线相切，方向向东，y轴与经线相切，方向向北，z轴从地面向上.在此坐标系下，地球的自转角速度为，其中为纬度，北纬为正、南纬为负. 当摆动幅度较小时，摆球在竖直方向的速度可以忽略.于是，设摆球的速度为，则它所受的Coriolis力为 其竖直分量对摆动平面的旋转无影响，且同重力相比很小，对周期的影响可忽略.另一方面，于是，在纬度为处的Coriolis力等价于在以角速度旋转的地球上的摆在北极所受的Coriolis力.而在北极，如果地球以角速度逆时针旋转，则从地球上来看，摆动平面以角速度顺时针旋转.所以在纬度为处，Foucault摆的摆动平面以角速度顺时针旋转.巴黎先贤祠在北纬48.8°，代入上式计算得摆动平面转动一周所需的时间为24小时/sin48.8°≈32小时.现在世界各地有很多Foucault摆，在上海天文馆(位于北纬30.9.)中就有一个，它的摆动平面转动一周所需的时间为24小时/sin30.9°≈47小时. 1.2Taylor公式与近似计算 在近似计算中，Taylor(泰勒)公式起了很大的作用.在很多应用问题中，只用到了带Peano(佩亚诺)余项的一阶Taylor公式，实际上就是微分.由于现在数值计算都利用计算机或计算器，在具体计算中使用Taylor公式的情况是不多的.然而，Taylor公式在公式的近似化简中仍起着很大的作用.在一定条件下，从化简后的近似公式中能更清楚地看出问题的实质. 1.2.1位于地球表面的物体的重力势能 如果一个质量为m的质点位于地球表面之外，那么它的重力势能为，其中G是万有引力常量，M是地球的质量，r是该点到地心的距离.现在设一点离地面很近，记h为该点离地面的高度，那么通常不会再用.来计算重力势能，而是用mgh来计算. [问题]导出地面附近的重力势能公式. [解答]记r=R+h，其中R是地球的半径.由于GM=R2g，其中g是重力加速度，所以 (1.5) 改变了势能的零点后，重力势能就近似成了mgh. 1.2.2黑体辐射公式的低频和高频近似 任何物体都会辐射电磁波，例如烧红的铁棒会辐射可见光，而人体主要辐射红外线.黑体是任何电磁波射到其上都会全部吸收而不会反射的理想物体，它只会按自身的温度辐射电磁波.对一个固定温度(绝对温度)T的黑体，单位体积内的能量密度按频率ν有一个分布ρ(ν).Planck(普朗克)黑体辐射公式给出: (1.6) 其中c是真空中的光速，h是Planck常量，k是Boltzmann(玻尔兹曼)常量，T是黑体的绝对温度. [问题]求ν很小和ν很大时Planck黑体辐射公式的近似表达式. [解答]当ν→0时， (1.7) 当ν→+∞时， (1.8) 所以当ν很小时，而当ν很大时. [说明]上面当ν很小时的公式称为Rayleigh-Jeans(瑞利–金斯)公式，而 当ν很大时的公式称为Wien(维恩)公式，这两个公式均可从经典物理理论导出，这时，电磁波的能量是连续的.Planck利用这两个渐近公式得到了黑体辐射公式(1.6)后，为了从统计力学将其导出，发现电磁波的能量只能取hν的整数倍，后来Einstein(爱因斯坦)据此提出了光子的概念.现在通常将Planck建立黑体辐射公式作为量子力学的诞生. 1.2.3狭义相对论的质能关系式 在Newton的经典力学中，时间只是一个统一的参数，同参考系无关.而在狭义相对论中，时间和空间不能独立地变换，而是通过Lorentz(洛伦兹)变换一起变化，从而时间和空间变量成为一个四维空间(称为Minkowski(闵可夫斯基)四维时空)中的一个向量的分量，这个向量通常记为其中c是真