微积分(下)

第 7 章 多元函数微分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1 多元函数的基本概念及其极限 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1．1 n 维欧式空间 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1．2 多元函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．2
7．1．3 多元函数的重极限与连续 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．3
7．1．4 多元函数的累次极限 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．7
习题 7．1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．8
7．2 偏导数与高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9
7．2．1 偏导数的定义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9
7．2．2 高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．11
习题 7．2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
7．3 全微分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
习题 7．3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．18
7．4 复合函数求导法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．19
习题 7．4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．25
7．5 隐函数求导法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．26
习题 7．5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30
7．6 偏导数的几何应用 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
7．6．1 空间曲线的切线与法平面 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
7．6．2 曲面的切平面与法线 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．33
7．6．3 二元函数全微分的几何意义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
习题 7．6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
7．7 多元函数的极值 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36
7．7．1 多元函数的无条件极值 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36
7．7．2 条件极值与拉格朗日乘数法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．42
习题 7．7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8 方向导数与梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．1 场的基本概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．2 方向导数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．3 梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．49
习题 7．8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．51
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．52
第 8 章 多元数量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1 黎曼积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1．1 二重积分的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1．2 黎曼积分的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
8．1．3 黎曼积分的分类 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
8．1．4 黎曼积分的性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．55
习题 8．1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．57
8．2 二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58
8．2．1 直角坐标系下二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58
8．2．2 极坐标系下二重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．62
8．2．3 二重积分的对换对称性 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．66
8．2．4 二重积分的变量代换 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．67
习题 8．2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．70
8．3 三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
8．3．1 直角坐标系下三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
8．3．2 柱坐标系下三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．75
8．3．3 球坐标系下三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77
8．3．4 三重积分一般的变量代换 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．79
习题 8．3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．81
8．4 **型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．83
习题 8．4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．86
8．5 **型曲面积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．87
习题 8．5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93
8．6 黎曼积分的应用实例 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93
8．6．1 物体质心 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．94
8．6．2 转动惯量 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．96
习题 8．6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．98
8．7 含参变量的积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．99
习题 8．7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101
第 9 章 多元向量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1 向量场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1．1 向量场与向量线 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1．2 向径的导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．105
9．2 第二型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106
9．2．1 第二型曲线积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106
9．2．2 第二型曲线积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．108
9．2．3 两种类型曲线积分的关系 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．111
习题 9．2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．112
9．3 格林公式及平面流速场的环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．113
9．3．1 格林公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．113
9．3．2 平面流速场的环量与旋度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117
习题 9．3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117
9．4 平面曲线积分与路径无关的条件及保守场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．118
9．4．1 平面曲线积分与路径无关的条件 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．118
9．4．2 保守场、原函数、全微分方程 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．123
习题 9．4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．126
9．5 第二型曲面积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127
9．5．1 第二型曲面积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127
9．5．2 第二型曲面积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．130
习题 9．5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．135
9．6 高斯公式、通量与散度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136
9．6．1 高斯公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136
9．6．2 向量场的通量与散度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．139
9．6．3 第二型曲面积分的三个等价条件 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．140
习题 9．6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．142
9．7 斯托克斯公式、环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144
9．7．1 斯托克斯公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144
9．7．2 向量场的环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．146
习题 9．7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．150
9．8 外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．1 外积和外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．2 外微分运算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．3 梯度、旋度与散度的数学意义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．152
9．8．4 多变量微积分的基本定理（一般的斯托克斯公式） ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．154
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．154
第 10 章 无穷级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1 数项级数的敛散性 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1．1 敛散性的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1．2 数项级数的几个基本性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．158
10．1．3 柯西收敛原理 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．160
习题 10．1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．161
10．2 正项级数的敛散性及其判别法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．162
习题 10．2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．172
10．3 任意项级数的敛散性及其判别法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．174
习题 10．3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．181
10．4 函数项级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182
10．4．1 函数项级数的收敛域与和函数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182
10．4．2 函数项级数的一致收敛性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．183
习题 10．4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189
10．5 幂级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189
10．5．1 幂级数的收敛半径和收敛域 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．190
10．5．2 幂级数的运算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．194
习题 10．5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．196
10．6 函数的幂级数展开 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197
10．6．1 泰勒级数及直接展开法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197
10．6．2 间接展开法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．201
10．6．3 幂级数和函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．204
习题 10．6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．206
10．7 幂级数的应用举例 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208
10．7．1 函数值的近似计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208
10．7．2 在积分计算中的应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．209
10．7．3 方程的幂级数解法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．210
习题 10．7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．212
10．8 傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213
10．8．1 三角函数系的正交性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213
10．8．2 傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．214
10．8．3 正弦级数和余弦级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．216
10．8．4 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．217
10．8．5 有限区间上的函数的傅里叶展开 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．219
习题 10．8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．220
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．222