包邮满分线性代数辅导讲义

第1章 行列式 1 1.1 考情分析1 1.1.1 2023版考研大纲1 1.1.2 行列式的特点1 1.1.3 考研真题分析1 1.2 行列式知识结构网络图2 1.3 基本内容和重要结论3 1.3.1 1阶、2阶和3阶行列式3 1.3.2 排列及排列的逆序数3 1.3.3 n阶行列式的定义3 1.3.4 行列式的性质4 1.3.5 余子式、代数余子式和k阶子式5 1.3.6 行列式按行(列)展开定理5 1.3.7 行列式展开定理的推论5 1.3.8 特殊行列式的计算6 1.3.9 克莱姆法则(行列式的应用)9 1.3.10 克莱姆法则相关结论10 1.3.11 行列式与矩阵的区别10 1.3.12 方阵的行列式公式11 1.3.13 余子式和代数余子式问题11 1.3.14 行列式与矩阵的秩12 1.3.15 行列式与特征值12 1.3.16 其他结论12 1.4 典型例题分析13 1.5 习题演练26 第2章 矩阵 29 2.1 考情分析29 2.1.1 2023版考研大纲29 2.1.2 矩阵的特点29 2.1.3 考研真题分析29 2.2 知识结构网络图30 2.2.1 矩阵知识结构网络图30 2.2.2 矩阵的秩知识结构网络图31 2.3 基本内容和重要结论32 2.3.1 矩阵的概念32 2.3.2 矩阵的线性运算32 2.3.3 矩阵乘法运算33 2.3.4 方阵的幂运算33 2.3.5 方阵的行列式35 2.3.6 矩阵的转置35 2.3.7 矩阵的逆35 2.3.8 伴随矩阵36 2.3.9 矩阵A可逆的充分必要条件36 2.3.10 矩阵的初等变换37 2.3.11 初等矩阵37 2.3.12 矩阵秩的概念38 2.3.13 矩阵秩的性质及公式40 2.3.14 矩阵的等价与秩41 2.3.15 分块矩阵及其运算41 2.3.16 分块矩阵的应用举例42 2.3.17 矩阵运算规律43 2.3.18 矩阵运算公式44 2.3.19 对角矩阵运算公式46 2.3.20 特殊分块矩阵运算公式47 2.3.21 分块矩阵秩的公式48 2.4 典型例题分析49 2.5 习题演练66 第3章 向量 70 3.1 考情分析70 3.1.1 2023版考研大纲70 3.1.2 向量的特点71 3.1.3 考研真题分析71 3.2 向量知识结构网络图72 3.3 基本内容和重要结论73 3.3.1 向量及向量线性表示的概念73 3.3.2 线性方程组与向量组线性表示定理74 3.3.3 向量组线性相关和线性无关的定义74 3.3.4 用线性方程组的解判定向量组线性相关性定理75 3.3.5 向量组线性相关性的形象理解定理75 3.3.6 向量组的部分与整体定理76 3.3.7 向量组的延伸与收缩定理76 3.3.8 一个向量与一个向量组定理76 3.3.9 特殊向量组的线性相关性定理76 3.3.10 向量组的极大线性无关组及秩77 3.3.11 用秩判断向量组的线性相关性定理77 3.3.12 “三秩相等”定理78 3.3.13 向量组的等价及与矩阵等价的区别78 3.3.14 向量组间线性表示与秩的关系定理79 3.3.15 向量组的“紧凑性”与“臃肿性”定理79 3.3.16 向量组极大无关组的求解及由极大无关组线性表示其余向量的方法 79 3.3.17 向量的内积、长度和夹角80 3.3.18 向量组线性相关性的几何意义81 3.3.19 线性无关向量组的正交规范化82 3.3.20 正交矩阵82 3.3.21 (仅数学一要求)向量空间及子空间83 3.3.22 (仅数学一要求)向量空间的基、维数与坐标83 3.3.23 (仅数学一要求)n维向量空间Rn的基84 3.3.24 (仅数学一要求)基变换(过渡矩阵)及坐标变换84 3.4 典型例题分析85 3.5 习题演练102 第4章 线性方程组 105 4.1 考情分析105 4.1.1 2023版考研大纲105 4.1.2 线性方程组的特点105 4.1.3 考研真题分析105 4.2 线性方程组知识结构网络图106 4.3 基本内容和重要结论107 4.3.1 线性方程组基本概念107 4.3.2 线性方程组与行列式107 4.3.3 线性方程组与矩阵107 4.3.4 线性方程组与秩108 4.3.5 线性方程组与向量组108 4.3.6 解向量与自由变量109 4.3.7 齐次线性方程组解的性质及解的结构110 4.3.8 非齐次线性方程组解的性质及解的结构111 4.3.9 方程组的公共解111 4.3.10 方程组的同解112 4.3.11 从AB=O中可以得到的结论112 4.3.12 线性方程组的几何意义(仅数学一要求)113 4.4 典型例题分析117 4.5 习题演练142 第5章 矩阵的特征值和特征向量 148 5.1 考情分析148 5.1.1 2023版考研大纲148 5.1.2 特征值和特征向量的特点148 5.1.3 考研真题分析148 5.2 特征值与特征向量知识结构网络图149 5.3 基本内容和重要结论150 5.3.1 特征值与特征向量的概念150 5.3.2 矩阵的特征值和特征向量命题大汇总150 5.3.3 特征值的性质及定理152 5.3.4 实对称矩阵的特征值与特征向量154 5.3.5 相似矩阵的定义及性质154 5.3.6 矩阵的相似对角化155 5.4 典型例题分析157 5.5 习题演练182 第6章 二次型 185 6.1 考情分析185 6.1.1 2023版考研大纲185 6.1.2 二次型的特点185 6.1.3 考研真题分析185 6.2 二次型知识结构网络图186 6.3 基本内容和重要结论186 6.3.1 二次型的概念186 6.3.2 矩阵的合同187 6.3.3 二次型的标准形及规范形187 6.3.4 正交变换法化二次型为标准形188 6.3.5 配方法化二次型为标准形188 6.3.6 惯性定理188 6.3.7 正定189 6.3.8 等价、相似与合同的判定与关系189 6.3.9 二次型的几何意义(仅数学一要求)190 6.4 典型例题分析191 6.5 习题演练207 附录A 参考答案 211 附录B *新例题讲解 217 参考文献 228