数学专业导论

**部分 数学概况 第 1 章 数学概论 2 1.1 数学发展简史 2 1.1.1 数学萌芽期 2 1.1.2 初等数学时期 6 1.1.3 变量数学时期 8 1.1.4 近代数学时期 9 1.1.5 现代数学时期 10 1.1.6 结 语 11 1.2 数学学派 12 1.2.1 古希腊六大数学学派 12 1.2.2 数学基础三大学派 18 1.2.3 以哥廷根大学和柏林大学为主的德国学派 21 1.2.4 以巴黎科学院为中心的法国学派 23 1.2.5 以圣彼得堡科学院和莫斯科大学为中心的俄苏学派 26 1.2.6 世界数学中心——美国普林斯顿学派 29 1.3 五大数学学科简介 30 1.4 数学发展的动力与学科交叉 32 1.5 数学文化 33 1.5.1 数学是常青知识、科学语言、重要基础和关键技术 34 1.5.2 人生哲学 35 1.5.3 科学家的数学名言 36 1.5.4 数学与艺术 38 1.5.5 数学之美 39 1.5.6 动植物的数学本能 43 第 2 章 数学活动 45 2.1 数学家 45 2.2 著作、论文和期刊 45 2.3 国际数学家大会 47 2.4 国际工业与应用数学大会 52 2.5 国际数学大奖 52 第 3 章 数学的几个主要学科分支 60 3.1 代数学 60 3.1.1 概述 60 3.1.2 代数符号化 62 3.1.3 抽象代数学 62 3.2 几何学 64 3.2.1 起源 64 3.2.2 学科分支 65 3.3 分析学 68 3.3.1 概述 68 3.3.2 学科分支 69 3.4 数论 71 3.4.1 概述 72 3.4.2 学科分支 73 3.5 微分方程 74 3.5.1 起源 75 3.5.2 分类与应用 76 3.5.3 研究内容 78 3.6 泛函分析 80 3.6.1 概述 80 3.6.2 拓扑线性空间 81 3.6.3 算子 83 3.6.4 变分法 84 3.7 拓扑学 86 3.7.1 概述 86 3.7.2 学科分支 88 3.8 概率论与数理统计 89 3.8.1 概述 89 3.8.2 定义 90 3.8.3 相关事例——生活中常见的概率思维误区 91 3.9 计算数学 93 3.9.1 概述 93 3.9.2 学科分支 94 3.10 运筹学 95 3.10.1 概述 95 3.10.2 学科分支 96 第 4 章 数学的重要应用举例 99 4.1 黎曼度规张量与相对论 99 4.2 打开世界大门的金钥匙——偏微分方程 101 4.2.1 纳维-斯托克斯方程与流体力学 101 4.2.2 麦克斯韦方程与电磁场理论 102 4.2.3 薛定谔方程与量子力学 103 4.3 数学家与计算机起源 104 4.4 金融数学 106 4.5 生物数学 107 4.5.1 数学与生态学 108 4.5.2 图灵斑图（模式） 109 4.5.3 数学与传染病学 111 4.5.4 数学与生理学和医学 112 第 5 章 重大数学猜想及作用 115 5.1 费马猜想 116 5.2 哥德巴赫猜想 117 5.3 孪生素数猜想 118 5.4 四色定理 119 5.4.1 一波三折的证明 120 5.4.2 信息科学的成功 120 5.5 黎曼猜想 121 5.6 庞加莱猜想 123 5.6.1 背景 123 5.6.2 解决历程 124 第 6 章 希尔伯特的 23 个问题 126 第二部分 数学变革 第 7 章 微积分的诞生 134 7.1 微积分的起源与创立 134 7.2 牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献 137 7.2.1 牛顿对微积分的贡献 137 7.2.2 莱布尼茨对微积分的贡献 138 7.3 微积分优先发明权之争 141 第 8 章 无穷悖论与三次数学危机 143 8.1 无穷悖论 143 8.1.1 希尔伯特旅馆悖论 143 8.1.2 托里拆利小号 144 8.1.3 芝诺悖论 145 8.1.4 球与花瓶悖论 147 8.1.5 无限长的杆 理想模型带来的悖论 147 8.2 无理数的发现与**次数学危机 148 8.2.1 无理数的发现与危机的产生 148 8.2.2 危机的解决与影响 149 8.3 贝克莱悖论与第二次数学危机 149 8.3.1 无穷小问题与危机爆发 150 8.3.2 极限理论的建立、危机的解决与影响 151 8.4 罗素悖论与第三次数学危机 152 8.4.1 罗素悖论与危机的产生 152 8.4.2 危机的解决与影响 153 第 9 章 数学革命——非欧几何学、群论与集合论 155 9.1 非欧几何学 155 9.1.1 背景 156 9.1.2 罗氏几何学 156 9.1.3 黎曼几何学 157 9.1.4 非欧几何学的作用与影响 158 9.2 群论 159 9.2.1 阿贝尔和伽罗瓦的工作 160 9.2.2 群同构 161 9.3 实数理论与集合论 161 9.3.1 实数理论 162 9.3.2 集合化公理 163 第三部分 历史上伟大的数学家 第 10 章 英年早逝的数学天才——阿贝尔和伽罗瓦 168 10.1 尼尔斯 · 阿贝尔 168 10.2 埃瓦里斯特 ·伽罗瓦 171 10.2.1 伽罗瓦的故事 172 10.2.2 伽罗瓦理论 174 第 11 章 欧拉——超人的记忆、坚强的意志和惊人的毅力 179 11.1 经历 179 11.2 贡献 181 第 12 章 另外三十位数学家和数学天才 186 12.1 万物皆数——毕达哥拉斯 186 12.2 几何之父——欧几里得 187 12.3 百科式数学家——阿基米德 188 12.4 史载**位杰出的女数学家——希帕蒂娅 189 12.5 古典概率论创始人——吉罗拉莫 ·卡尔达诺 190 12.6 解析几何之父——勒内 ·笛卡儿 191 12.7 科学天才——艾萨克 ·牛顿 192 12.8 历史上少见的通才——戈特弗里德 ·莱布尼茨 193 12.9 伯努利家族**代数学家——雅各布** ·伯努利 194 12.10 神童——玛丽亚 · 阿涅西 195 12.11 分析数学的推动者——约瑟夫 ·拉格朗日 196 12.12 “布朗先生 ”——玛丽-索菲 ·热尔曼 197 12.13 数学王子——卡尔 ·高斯 198 12.14 承前启后的数学巨人——奥古斯丁 ·柯西 199 12.15 黎曼几何创始人——波恩哈德 ·黎曼 200 12.16 集合论创始人——格奥尔格 ·康托尔 201 12.17 历史上首位女博士——索菲娅 ·柯瓦列夫斯卡娅 203 12.18 全能数学家——亨利 ·庞加莱 204 12.19 数学界无冕之王——大卫 ·希尔伯特 205 12.20 现代积分理论奠基人——亨利 ·勒贝格 206 12.21 抽象代数之母——埃米 ·诺特 207 12.22 混沌理论创始人——玛丽 ·卡特赖特 208 12.23 现代概率论开拓者——安德烈 ·柯尔莫哥洛夫 209 12.24 中国现代数学之父——华罗庚 211 12.25 微分几何之父——陈省身 212 12.26 三无数学家——保罗 ·埃尔德什 213 12.27 几何分析奠基人——丘成桐 214 12.28 费马猜想终结者——安德鲁 ·怀尔斯 215 12.29 庞加莱猜想终结者——格里戈里 ·佩雷尔曼 216 12.30 数学天才和全才——陶哲轩 217 第 13 章 数学家轶事和趣闻 219 参考文献 231 人名索引 235