线性代数深化训练与考研指导

目 录
第1章 行列式 1
1.1 知识要点 1
1.1.1 排列 1
1.1.2 对换 1
1.1.3 n阶行列式 1
1.1.4 行列式的性质 2
1.1.5 余子式、代数余子式 2
1.1.6 行列式展开定理 2
1.1.7 特殊的行列式的计算 3
1.2 典型例题分析 4
1.2.1 题型一、排列问题 4
1.2.2 题型二、利用定义计算行列式 4
1.2.3 题型三、利用性质计算行列式 5
1.2.4 题型四、行列式按行或列展开 8
*1.2.5 题型五、行列式按拉普拉斯方法展开 13
1.3 深化训练 13
1.4 深化训练详解 17
1.5 综合提高训练 23
第2章 矩阵 28
2.1 知识要点 28
2.1.1 矩阵的概念 28
2.1.2 矩阵的运算 28
2.1.3 伴随矩阵 29
2.1.4 可逆矩阵 29
2.1.5 矩阵分块 30
2.1.6 分块矩阵的运算 31
2.1.7 线性方程组 31
2.2 典型例题分析 32
2.2.1 题型一、矩阵的乘法及乘法的运算规律 32
2.2.2 题型二、伴随矩阵的相关问题 35
2.2.3 题型三、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 36
2.2.4 题型四、矩阵的分块及分块运算 41
2.2.5 题型五、矩阵方程的求解 43
2.2.6 题型六、克莱姆法则的应用 44
2.3 深化训练 46
2.4 深化训练详解 48
2.5 综合提高训练 53
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 56
3.1 知识要点 56
3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 56
3.1.2 矩阵的秩 56
3.1.3 用初等变换求逆矩阵及解矩阵方程 57
3.1.4 线性方程组解的判定定理 57
3.2 典型例题分析 58
3.2.1 题型一、矩阵的初等变换问题 58
3.2.2 题型二、矩阵的秩的求解 59
3.2.3 题型三、利用初等变换求矩阵的逆矩阵 60
3.2.4 题型四、线性方程组的求解 61
3.3 深化训练 63
3.4 深化训练详解 67
3.5 综合提高训练 73
第4章 向量组的线性相关性 76
4.1 知识要点 76
4.1.1 向量的线性组合（线性表示） 76
4.1.2 向量组的线性相关性 76
4.1.3 向量组的极大线性无关组的定义与性质 77
4.1.4 线性方程组解的结构 77
4.1.5 向量空间的概念与性质 78
4.2 典型例题分析 79
4.2.1 题型一、向量线性表示的相关问题 79
4.2.2 题型二、向量组的线性相关性问题 80
4.2.3 题型三、极大线性无关组及秩的求解 82
4.2.4 题型四、线性方程组解的相关问题 84
4.2.5 题型五、向量空间的相关问题 92
4.3 深化训练 93
4.4 深化训练详解 100
4.5 综合提高训练 113
第5章 特征值与特征向量、相似矩阵 128
5.1 知识要点 128
5.1.1 向量的内积、长度及夹角 128
5.1.2 正交向量组 128
5.1.3 正交矩阵及正交变换 129
5.1.4 矩阵的迹 129
5.1.5 矩阵的特征值与特征向量 130
5.1.6 相似矩阵 130
5.1.7 一般矩阵的对角化 131
5.1.8 实对称矩阵的对角化 131
5.2 典型例题分析 132
5.2.1 题型一、向量的内积、长度及正交问题 132
5.2.2 题型二、正交矩阵问题 133
5.2.3 题型三、特征值与特征向量问题的计算 133
5.2.4 题型四、特征值与特征向量的证明问题 134
5.2.5 题型五、相似矩阵问题 135
5.2.6 题型六、对称矩阵的对角化问题 138
5.3 深化训练 141
5.4 深化训练详解 142
5.5 综合提高训练 146
第6章 二次型 151
6.1 知识要点 151
6.1.1 二次型及其矩阵表示 151
6.1.2 二次型的标准形与规范形 151
6.1.3 矩阵的合同 152
6.1.4 利用正交变换化二次型为标准形 152
6.1.5 用配方法化二次型成标准型 153
6.1.6 惯性定理 153
6.1.7 正定二次型与正定矩阵 154
6.1.8 顺序主子式 154
6.2 典型例题分析 154
6.2.1 题型一、二次型的基本概念问题 154
6.2.2 题型二、将二次型化为标准型 155
6.2.3 题型三、二次型的规范形的求解 157
6.2.4 题型四、矩阵的合同、相似问题 158
6.2.5 题型五、二次型（或二次型矩阵）正定性的判定 159
6.2.6 题型六、二次型的参数求解问题 159
6.2.7 题型七、二次型（二次型矩阵）的证明问题 160
6.3 深化训练 160
6.4 深化训练详解 162
6.5 综合提高训练 165
2013年考研试题线性代数考题 169
2014年考研试题线性代数考题 172
2015年考研试题线性代数考题 174
2016年考研试题线性代数考题 178
2017年考研试题线性代数考题 182
参考文献 184