高等数学-(上册)

目录
前言
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合、区间、邻域 1
1.1.2 函数的概念 2
1.1.3 函数的特性 4
习题1.1 6
1.2 初等函数 7
1.2.1 反函数 7
1.2.2 基本初等函数 7
1.2.3 复合函数 9
1.2.4 初等函数 10
1.2.5 双曲函数及反双曲函数 10
习题1.2 12
1.3 数列的极限 12
1.3.1 数列极限的概念 13
1.3.2 数列极限的性质 15
习题1.3 17
1.4 函数的极限 18
1.4.1 当x→∞时，函数f(x)的极限 18
1.4.2 当x→x0时，函数f(x)的极限 20
1.4.3 函数极限的性质 23
习题1.4 24
1.5 无穷大与无穷小 25
1.5.1 无穷小量 25
1.5.2 无穷大量 27
1.5.3 无穷大量与无穷小量的关系 28
习题1.5 29
1.6 极限的运算法则 29
习题1.6 33
1.7 极限存在准则及两个重要极限 34
1.7.1 极限存在准则 34
1.7.2 两个重要极限 36
习题1.7 39
1.8 无穷小量阶的比较 40
习题1.8 42
1.9 函数的连续性与间断点 42
1.9.1 函数的连续性 42
1.9.2 函数的间断点 44
习题1.9 47
1.10 连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质 48
1.10.1 连续函数的四则运算 48
1.10.2 反函数与复合函数的连续性 48
1.10.3 初等函数的连续性 49
1.10.4 闭区间上连续函数的性质 51
1.10.5 函数的一致连续性 53
习题1.10 54
总习题1 55
第2章 导数与微分 57
2.1 导数的概念 57
2.1.1 引例 57
2.1.2 导数的定义 59
2.1.3 求导数举例 62
2.1.4 导数的几何、物理、化学意义 63
2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 65
习题2.1 66
2.2 函数的求导法则 67
2.2.1 导数的四则运算法则 67
2.2.2 反函数的导数 69
2.2.3 复合函数的求导法则 71
习题2.2 75
2.3 高阶导数 76
习题2.3 79
2.4 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 79
2.4.1 隐函数的导数 79
2.4.2 对数求导法 81
2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 82
2.4.4 相关变化率 85
习题2.4 86
2.5 函数的微分 87
2.5.1 微分的定义 87
2.5.2 微分的几何意义 89
2.5.3 基本初等函数的微分公式和微分的运算法则 90
2.5.4 微分在近似计算中的应用 92
习题2.5 94
总习题2 95
第3章 中值定理与导数的应用 97
3.1 中值定理 97
3.1.1 罗尔(Rolle)定理 97
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 99
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 103
习题3.1 104
3.2 洛必达(L'Hospital)法则 105
习题3.2 109
3.3 泰勒公式 110
3.3.1 泰勒(Taylor)公式 110
3.3.2 常见初等函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式 114
3.3.3 麦克劳林公式和泰勒公式的应用 115
习题3.3 117
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 118
3.4.1 函数的单调性 118
3.4.2 曲线的凹凸性 120
习题3.4 124
3.5 函数的极值与*值 125
3.5.1 函数的极值 125
3.5.2 函数的*值 128
习题3.5 131
3.6 函数图形的描绘 132
3.6.1 渐近线 132
3.6.2 函数图形的描绘 133
习题3.6 135
3.7 平面曲线的曲率 136
3.7.1 曲线曲率的定义 136
3.7.2 弧长的微分 138
3.7.3 曲率的计算及曲率半径 139
习题3.7 142
总习题3 142
第4章 不定积分 146
4.1 不定积分的概念与性质 146
4.1.1 原函数与不定积分的概念 146
4.1.2 不定积分的几何意义 148
4.1.3 不定积分的性质 148
4.1.4 基本积分公式 149
习题4.1 151
4.2 换元积分法 151
4.2.1 **换元法(凑微分法) 151
4.2.2 第二换元积分法 157
习题4.2 161
4.3 分部积分法 162
习题4.3 166
4.4 有理函数的积分 166
4.4.1 有理函数的积分 166
4.4.2 可化为有理函数的积分 170
习题4.4 172
总习题4 172
第5章 定积分 174
5.1 定积分的概念与性质 174
5.1.1 定积分问题举例 174
5.1.2 定积分的定义 176
5.1.3 定积分的性质 179
习题5.1 183
5.2 微积分基本公式 183
5.2.1 积分上限函数及其导数 184
5.2.2 微积分基本公式 188
习题5.2 190
5.3 定积分的积分方法 191
5.3.1 定积分的换元积分法 191
5.3.2 定积分的分部积分法 196
习题5.3 198
5.4 定积分的近似运算 199
5.4.1 矩形法 199
5.4.2 梯形法 199
5.4.3 抛物线法(辛普森法) 200
习题5.4 201
5.5 广义积分 202
5.5.1 无穷限的广义积分 202
5.5.2 无界函数的广义积分 204
习题5.5 206
5.6 广义积分的审敛法与 函数 206
5.6.1 无穷限的广义积分的审敛法 206
5.6.2 无界函数的广义积分的审敛法 208
5.6.3 函数 209
习题5.6 210
总习题5 210
第6章 定积分的应用 213
6.1 定积分的微元法 213
6.2 定积分在几何学上的应用 215
6.2.1 平面图形的面积 215
6.2.2 体积 218
6.2.3 平面曲线的弧长 221
习题6.2 223
6.3 定积分在物理学上的应用 224
6.3.1 变力做功问题 224
6.3.2 水压力 225
6.3.3 引力 226
6.3.4 转动惯量 227
习题6.3 228
总习题6 228
第7章 无穷级数 230
7.1 常数项级数的概念和性质 230
7.1.1 引例 230
7.1.2 常数项级数的概念 231
7.1.3 收敛级数的基本性质 233
习题7.1 236
7.2 常数项级数审敛法 237
7.2.1 正项级数审敛法 237
7.2.2 交错级数的审敛法 244
7.2.3 **收敛与条件收敛 245
习题7.2 247
7.3 幂级数 249
7.3.1 函数项级数的概念 249
7.3.2 幂级数的收敛性 250
7.3.3 幂级数的运算 255
习题7.3 258
7.4 函数展开成幂级数 259
7.4.1 泰勒级数的概念 259
7.4.2 将函数展开成幂级数 261
习题7.4 267
7.5 函数的幂级数展开式的应用 267
7.5.1 求常数项级数的和 267
7.5.2 函数值的近似计算 268
7.5.3 定积分的近似计算 269
7.5.4 欧拉公式 270
习题7.5 271
7.6 傅里叶(Fourier)级数 272
7.6.1 三角级数、三角函数的正交性 272
7.6.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 273
7.6.3 周期为2l的函数的傅里叶级数 280
7.6.4 傅里叶级数的复数形式 283
习题7.6 285
总习题7 287
习题参考答案及提示 291
参考书目 328