物理世界的数学奇迹

倾听宇宙的声音 古人曾梦想通过纯粹的思考掌握现实的本质，我觉得这完全正确。 —阿尔伯特??爱因斯坦，《论理论物理学的方法》，1933 “爱因斯坦是个彻头彻尾的疯子。”年轻、高傲的罗伯特??奥本海默于1935年年初造访当时身处普林斯顿的爱因斯坦后，对这位全世界*著名的科学家做出了此番描述。1当时，爱因斯坦已经为建立一个雄心勃勃的新理论努力了10年，而这在奥本海默等人看来，只能说明这位普林斯顿的圣人已经误入歧途。爱因斯坦几乎无视了量子理论在*小尺度上解释物质性质的物理学新进展，而是专心致志地寻找一种宏大的新理论。这个理论的目的并不是解释令人困惑的实验发现，它其实是一种智力上的探索—爱因斯坦试图仅通过数学计算，凭自己的想象就开发出一种理论。虽然这种方法在他的同行中并不流行，但在他开了先河之后，他的一些知名后辈如今已成功将之应用在前沿研究中。 奥本海默和当时的许多其他物理学家都觉得爱因斯坦的数学方法注定会失败。这也难怪：毕竟，他的方法似乎违背了过去250年来科学研究始终遵循的一条原则—做自然研究应该避免柏拉图等思想家曾坚信的纯思维的方式。当时，大多数人的看法是：物理学家应该通过在现实世界中所做的观测和实验得到的结果，验证他们关于宇宙的理论。这样一来，理论学家就可以避免自欺欺人地夸大自己对自然的认识。 爱因斯坦当然知道自己在干什么。从20世纪20年代初开始，他就经常提到：经验告诉他，为达到他的主要目标（也就是发现大自然的基础定律），数学策略提供了取得进展的*大希望。他在1925年对年轻的学生埃丝特??萨拉曼（Esther Salaman）说：“我想知道上帝是怎么创造这个世界的。单纯的某个现象或某个元素（的性质）都不能提起我的兴趣。我感兴趣的是上帝的总体构思，其余的都只是细节。”2在他看来，“物理学家的*终任务”就是理解潜藏在整个宇宙运作机制之下的内在秩序—从原子内部微粒的急速振动到外太空星系的剧烈活动。3爱因斯坦认为，在如此多样、复杂的宇宙之下潜藏着一种相对简单的秩序，这个事实本身就是“一个奇迹，或者一个永恒的谜团”。4 数学为表达这种潜藏的秩序提供了一个十分精确的方式。物理学家和他们的前辈已经掌握了从数学语言出发发现普适定律的能力。这些定律不仅适用于地球上的事物，也适用于宇宙各处的所有事物，从时间的开始一直到*遥远的未来。在这个领域耕耘的理论学家，包括爱因斯坦在内，可能会被认为过分自大（这也在情理之中），但一定不会被认为缺少雄心壮志。 借助数学的潜力发现大自然的新定律成了爱因斯坦的执念。1933年春天，爱因斯坦在牛津大学向公众做特别演讲时首次公开提出了把数学方法应用到物理研究中去的想法。他的声音不大，却充满自信，他敦促理论学家们不要再通过解释新的实验发现的途径来发现基本定律（传统方法），而要多从数学中汲取灵感。这个方法实在太偏激了，很可能吓到了听众中的物理学家，但如我们所想，当时没人敢站起来公开反对他。爱因斯坦还告诉听众，他已经把刚才说的方法付诸实践了：他正运用数学方法把引力理论和电磁理论结合起来。爱因斯坦相信，他可以通过预测新理论的数学结构来实现这个目标—这两个理论涉及的数学内容可以把它们统一起来。 爱因斯坦很清楚，这种通过数学方法解决问题的策略在很多科学学科中是行不通的，因为那些学科的理论框架通常不是通过数学搭建的。例如，查尔斯??达尔文在用自然选择阐述他的进化论时，根本就没用到数学。同样，当阿尔弗雷德??魏格纳首次描述板块漂移理论时也只是用语言表述的。这类理论的一大潜在缺陷是：语言并不太牢靠—它们的含义模糊不清且容易被误解，而数学概念定义清晰、含义准确，适合用来做逻辑推演和创造性演绎。爱因斯坦认为，数学具有的这些性质是理论物理学家的福音，他们应该充分加以利用。然而，当时他的同僚中鲜有人认可这个观点，哪怕是爱因斯坦*狂热的崇拜者也对此嗤之以鼻。他的毒舌朋友沃尔夫冈??泡利甚至指责他抛弃了物理学：“我应该恭喜你（或者应该表达哀悼？）成功转向了纯数学领域……为了能让你（现在的）这个理论准时步入坟墓，我就不再刺激你，并浪费你的时间来反驳了。”5对于这类评论，爱因斯坦一概置之不理，他只是沿着自己的小径孤独前行，他也没能拿出什么成果来证明这番努力有所收获：他成了现代物理学的堂吉诃德。6爱因斯坦于1955年逝世后，**物理学家们达成了一个共识：爱因斯坦的这个方法彻底失败了，这表明大家对他的批评并没有错。然而，后来理论物理学的发展证明，这个结论下得太早了。 虽然爱因斯坦不应该忽略亚原子层面物质理论的进展，但在某一方面，他还是要比许多批评者更有远见的。20世纪70年代中期，也就是爱因斯坦逝世20年后，几位杰出的物理学家追随着他的脚步，试图运用纯思想—以数学为基础—构建扎实但不免有瑕疵的理论。当时，我还是一名刚入行的研究生，对这种纯粹在脑海中展开研究的策略相当警惕，并且相当确信这条路走不通，*终必将一无所获。对我来说，理论物理学家显然应该让实验发现指引他们前行的道路。这是正统的方法，并且的确在理论物理学家发展亚原子层面的现代理论时立下了汗马功劳。这套理论后来成为粒子物理学的标准模型，那简直就是一个奇迹：标准模型以寥寥数条简单的原理为基础，很快就取代了此前所有想要描述亚原子粒子行为的尝试。这个模型漂亮地解释了每个原子的内在运作机制。当时我还没完全意识到自己有多幸运：我就端坐在大教室的后排，观看这部史诗般的当代物理学戏剧上演。 我记得自己在那些年里参加过几十场以新奇理论为主要内容的研讨会。那些理论看上去的确令人印象深刻，但只是大致与实验结果相符。然而，这些理论的拥护者显然颇为自信，觉得他们发现了某种重要的东西。这种自信部分来自这些理论运用了有意思的新数学工具。对我来说，这种做物理研究的方式看上去比较奇怪。我觉得更好（而且是好得多）的方式是去倾听大自然告诉了我们什么，一大理由是大自然从不说谎。 我感觉到一股新风已吹来，但据我所知，风向朝着我不怎么喜欢的数学方向。从个人角度说，我希望这股新风逐渐止歇，但我又错了。20世纪80年代初，随着关于亚原子粒子之间作用力的实验所带来的新信息逐渐减少，这股新风越吹越盛。出于上述原因，更多的理论物理学家转向了以数学为辅助工具的纯推理式研究。这给基础物理学带来了一个新方法—弦论。这个理论假设宇宙的基本要素并非粒子，而是极小的弦，企图以此在*精细的层面上对大自然进行统一的描述。理论物理学家在这个理论上取得了一些进展，但尽管他们付出了巨大的努力，仍没能给出实验物理学家能够检验的预测。于是，像我这样的怀疑论者就开始认为，事实会证明这个理论无非就是一个用数学工具写就的科幻小说。 然而，令我震惊的是，许多**理论物理学家并没有因为这一理论显然缺乏直接实验的支持而就此止步。他们反复强调这个理论的潜力，以及它与数学关联的深度与广度，有很多关联甚至对世界**数学家都具有启示意义。这种深入、广泛的学科交叉进一步推动了理论物理学家和数学家之间的合作，并且产生了一系列令人兴奋的结果，尤其是对数学家来说。不仅物理学离不开数学，数学也离不开物理学，此刻这个道理比以往任何时候都更加清楚。 数学和物理学的交织似乎证明了物理学家保罗??狄拉克在20世纪30年代表达的观点。狄拉克有时被称为“理论学家的理论学家”。7狄拉克认为，基础物理学是通过越来越能体现数学之美的理论取得进展的。8这个趋势让他确信—“从信念的立场上说，而非逻辑”—物理学家应该始终致力于寻找体现数学之美的例子。9不难看出这对于弦论学家来说有着特殊的吸引力：他们的理论到处都蕴含着数学之美，因此，根据狄拉克的思路，这个理论当然是前途光明的。 弦论的盛行给现代基础物理学添上了浓厚的数学色彩。迈克尔??阿蒂亚（Michael Atiyah）这位把研究重心转向理论物理学的杰出数学家，后来煽动性地写道：“数学接管了物理学。”10不过，当一些物理学家看到许多才华横溢的同事研究深奥的数学理论，而其中有许多是不可能验证的时，他们颇感沮丧。2014年，美国实验物理学家伯顿??里克特（Burton Richter）直言不讳地总结了他对这种趋势的担忧：“现在看来，物理学理论的基础很快将不再是现实世界中的真实实验了，而是理论学家脑海中的想象实验。”11这种趋势的后果可能是灾难性的，里克特忧心忡忡地表示：“到那时，理论家们的灵感只能来自数学，而不是新的观测结果。在我看来，那就是我们现在所理解的基础物理学研究的坟墓。” 对现代理论物理学现状的失望甚至成了一个公众热议的话题。在过去的大约10年里，数位颇有影响力的评论者把矛头指向了弦论，称其为“神话物理学”“连错都算不上”，并指责这一代理论物理学家“迷失在数学中”。12现在，我们常常能在媒体上，尤其是博客圈里听到一些批评意见，抱怨说现代物理学应该回到真实科学那条笔直且狭窄的道路上。 这种观点是错误的，并且体现了不必要的悲观情绪。我在本书中想要表达的是，如今的理论物理学家其实正走在一条完全合理且极有前景的康庄大道上。他们使用的方法在逻辑性和创造性上汲取了自艾萨克??牛顿以来数个世纪的物理学成果。牛顿建立了描述运动和引力的数学定律，就构建**个以数学为基础且可通过实验验证的描述真实世界的框架来说，他的贡献比任何人都要大。牛顿清楚地阐明，物理学的长远目标是通过越来越少的概念掌握越来越多的宇宙知识。13如今的**物理学家正坚定地站在20世纪的两块基石上，朝着这个目标不懈努力。这两块基石正是爱因斯坦的基础相对论和量子力学。前者是对牛顿时空观的修正，后者则描述了*小尺度上物质的行为。没有任何实验能够证伪这两个理论中的任何一个，因此，它们构成了物理学研究的完美基石。 爱因斯坦经常说，量子力学和基础相对论很难融合到一起，但物理学家*终还是把它们结合成了一个理论。这个理论做出了非常成功的预测，在某个实例中与相应实验测量结果小数点后的11位相符。14大自然似乎在清楚且大声地告诉我们，这两个理论都应得到尊重。今天的物理学家正是在这一成就的基础上展开工作的，他们坚持认为任何以普适性为目标的新理论都必须与基础相对论和量子力学相匹配。这种坚持造成了出人意料的结果：不仅催生了物理学的新进展（其中包括弦论），而且促使物理学与前沿数学之间产生了诸多联系。物理学与数学互相交织的画面从没有像现在这样清晰：基础物理学中的新概念启迪了数学中的新概念，反过来也是一样。正是出于这个原因，许多**物理学家相信，他们不仅能够从实验中学到东西，还能从相对论和量子力学交汇时产生的数学结构中得到启发。 我还是一名中学生时，就一直惊叹于数学在物理学研究中令人震惊的有效性。数学课上学到的抽象技巧竟然能够完美解决物理课上需要处理的具体问题，那种惊喜的心情，我至今都还记得。我印象*深的是，部分包含未知量x和y的数学公式同样也能用来描述对真实世界的观测，这时，x和y代表的则是实验人员可以测量出来的量。一些以我们刚学的数学技巧为基础的简单原理竟然可以用来准确预测各种大小的物体的轨迹（小到高尔夫球的运动轨迹，大到行星的运动轨道），这着实令我惊叹。 在我的记忆中，对于抽象数学可以如此精妙地（或者简直可以说是奇迹般地）应用于物理学的这个现象15，我的中学老师里没有哪位给出过什么评论。到了大学，包含基础数学的物理学理论能够描述如此丰富的真实世界—从载流导线附近磁场的形状到原子内部粒子的运动—给我留下了更加深刻的印象。物理学绝对离不开数学，这似乎成了某种意义上的科学事实。不过很久之后，我才窥见了这个故事的另一面：数学也离不开物理学。