线性代数

01
第1　章 行列式．．．．．．．．．．．．．．　1
1．1　行列式的基本概念．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　1
1．1．1　排列及其逆序数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　1
1．1．2　二阶、三阶行列式．．．．．．．．．．．．．．．．　2
1．1．3　n 阶行列式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　5
同步习题1．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8
1．2　行列式的性质及其应用．．．．．．．．．．．．．9
1．2．1　行列式的性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　9
1．2．2　行列式性质的简单应用．．．．．．．　12
同步习题1．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　14
1．3　行列式的典型计算方法．．．．．．．．．．．　15
1．3．1　上（下）三角法 ．．．．．．．．．．．．．．．．．　15
1．3．2　降阶法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　17
*1．3．3　升阶法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　18
1．3．4　拆分法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　20
*1．3．5　递推法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　21
同步习题1．3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　24
1．4　克莱姆法则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　25
同步习题1．4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　28
1．5　运用MATLAB 计算行列式．．．．　29
1．5．1　MATLAB 简介．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　29
1．5．2　用MATLAB 计算行列式．．．．　30
第1　章思维导图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　31
第1　章总复习题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　32
第2　章 矩阵．．．．．．．．．．．．．．35
2．1　矩阵的基本概念．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　35
2．1．1　引例．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　35
2．1．2　矩阵的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　36
2．1．3　几种特殊矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　37
同步习题2．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．40
2．2　矩阵的运算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　40
2．2．1　矩阵的线性运算．．．．．．．．．．．．．．．．．40
2．2．2　线性变换与矩阵乘法．．．．．．．．．．　41
2．2．3　矩阵的转置．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　47
2．2．4　方阵的行列式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　48
2．2．5　伴随矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．49
同步习题2．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　50
2．3　初等变换与初等矩阵．．．．．．．．．．．．．　51
2．3．1　矩阵的初等变换．．．．．．．．．．．．．．．．．　51
2．3．2　初等矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　52
同步习题2．3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　55
2．4　逆矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　56
2．4．1　逆矩阵的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　56
2．4．2　矩阵可逆的充要条件．．．．．．．．．．　57
2．4．3　矩阵之间的等价关系．．．．．．．．．．　59
2．4．4　解矩阵方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　62
同步习题2．4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　64
2．5　矩阵的秩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　65
目　录
02
2　线性代数（慕课版）
2．5．1　矩阵秩的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　65
2．5．2　矩阵秩的性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　66
2．5．3　矩阵秩的相关结论．．．．．．．．．．．．．　68
同步习题2．5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　69
2．6　分块矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　70
2．6．1　分块矩阵的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．　70
2．6．2　分块矩阵的运算．．．．．．．．．．．．．．．．．　71
2．6．3　分块对角矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　73
同步习题2．6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　76
2．7　运用MATLAB 进行矩阵
运算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　77
2．7．1　矩阵的加法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　77
2．7．2　矩阵的乘法、数乘、乘方．．．　78
2．7．3　求矩阵的转置．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　78
2．7．4　求矩阵的逆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　78
2．7．5　求矩阵的行*简形．．．．．．．．．．．．．．　79
第2　章思维导图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．80
第2　章总复习题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　81
03
第3　章 向量与向量
空间．．．．．．．．．．．．．．84
3．1　n 维向量及其线性运算．．．．．．．．．．．　84
3．1．1　n 维向量的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．　84
3．1．2　n 维向量的线性运算．．．．．．．．．．．　85
同步习题3．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　86
3．2　向量组的线性关系．．．．．．．．．．．．．．．．　86
3．2．1　向量组的线性组合．．．．．．．．．．．．．．　86
3．2．2　向量组的等价．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　87
3．2．3　线性组合的经济学应用
举例．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　88
3．2．4　向量组线性相关性的
定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　88
3．2．5　向量组线性相关性的
性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．90
3．2．6　向量组线性相关性的
判定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　92
同步习题3．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　93
3．3　极大线性无关组和秩．．．．．．．．．．．．．　95
3．3．1　极大线性无关组和向量组
的秩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　95
3．3．2　向量组的秩和矩阵的秩的
关系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　96
同步习题3．3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．98
3．4　向量空间．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　99
3．4．1　向量空间的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．99
*3．4．2　过渡矩阵与坐标变换．．．．．．．　100
同步习题3．4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　102
3．5　向量的内积．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　102
3．5．1　向量的内积的定义．．．．．．．．．．．．　102
3．5．2　向量组的正交规范化．．．．．．．．　104
3．5．3　正交矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　105
同步习题3．5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　106
3．6　运用MATLAB 解决向量
问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　106
3．6．1　判断向量组的线性
相关性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　107
3．6．2　求极大无关组．．．．．．．．．．．．．．．．．．　107
目录3
3．6．3　将向量组正交规范化．．．．．．．．　107
第3　章思维导图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　109
第3　章总复习题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．110
04
第4　章 线性方程组．．．．112
4．1　齐次线性方程组．．．．．．．．．．．．．．．．．．112
4．1．1　引例．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．112
4．1．2　齐次线性方程组解的性质．．．．113
4．1．3　齐次线性方程组的
基础解系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．113
同步习题4．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．117
4．2　非齐次线性方程组．．．．．．．．．．．．．．．119
4．2．1　非齐次线性方程组的基本
概念．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．119
4．2．2　非齐次线性方程组解的
性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　120
4．2．3　非齐次线性方程组的
解法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　120
同步习题4．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　125
4．3　线性方程组的应用．．．．．．．．．．．．．．　127
4．3．1　向量组与线性方程组．．．．．．．．　127
4．3．2　利用线性方程组解的理论
求解线性方程组．．．．．．．．．．．．．．．　129
4．3．3　矩阵方程与线性方程组．．．．．　130
4．3．4　同解与公共解．．．．．．．．．．．．．．．．．．　132
4．3．5　线性方程组应用案例．．．．．．．．　135
同步习题4．3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　137
4．4　运用MATLAB 求解线性
方程组．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　139
4．4．1　求解齐次线性方程组．．．．．．．．　139
4．4．2　求解非齐次线性方程组．．．．．　139
第4　章思维导图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．141
第4　章总复习题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　142
05
第5　章 矩阵的特征值与
特征向量．．．．．．　145
5．1　特征值与特征向量．．．．．．．．．．．．．．　145
5．1．1　特征值与特征向量的
定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　145
5．1．2　特征值与特征向量的
性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　148
同步习题5．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．151
5．2　相似矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　152
5．2．1　相似矩阵的定义及性质．．．．．　152
5．2．2　方阵的相似对角化．．．．．．．．．．．　153
同步习题5．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　157
5．3　实对称矩阵及其对角化 ．．．．．．．．　159
5．3．1　实对称矩阵的特征值与特征
向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　159
5．3．2　实对称矩阵的正交相似
对角化．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　159
同步习题5．3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　164
5．4　运用MATLAB 求解矩阵
问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　165
4　线性代数（慕课版）
5．4．1　求特征值与特征向量．．．．．．．．．　165
5．4．2　矩阵对角化的判断．．．．．．．．．．．　166
第5　章思维导图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　168
第5　章总复习题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　169
06
第6　章 二次型．．．．．．．．．．171
6．1　二次型及其矩阵表示．．．．．．．．．．．．．171
6．1．1　二次型的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．171
6．1．2　二次型及其矩阵．．．．．．．．．．．．．．．　172
同步习题6．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　173
6．2　二次型的标准形．．．．．．．．．．．．．．．．．　174
6．2．1　利用正交变换法化二次型
为标准形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　174
6．2．2　利用配方法化二次型为
标准形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　177
同步习题6．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　178
6．3　正定二次型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　179
6．3．1　正定二次型的定义．．．．．．．．．．．．　179
6．3．2　赫尔维茨定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．　180
同步习题6．3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．181
6．4　用MATLAB 进行二次型的
运算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　182
6．4．1　化二次型为标准形．．．．．．．．．．．．　182
6．4．2　正定二次型的判定．．．．．．．．．．．　183
第6　章思维导图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　183
第6　章总复习题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　184
附录　线性代数中的数学
建模．．．．．．．．．．．．．．．．　186
参考答案　．．．．．．．．．．．．．．．．．．　190
即时提问答案．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　190
同步习题答案．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　193
总复习题答案．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　206