给孩子的数学故事书给孩子的数学故事书(全6册)

有趣的结绳戏法 有道是:“戏法人人会变,各有巧妙不同”。 人们平日见到的戏法,多是采用障眼的手段。通过精巧的道具,娴熟的手法,用艺术表演的方式,把真相掩盖起来,使观众看到一种扣人心弦而又百思不解的假象! 有一个令人惊心动魄的戏法,差一点获得了世界魔术锦标赛的金奖。这就是法国魔术大师让·罗加尔表演的“人体三分柜”。表演时他让一位腰肢纤细的美貌女郎站在一个柜内,然后拦腰插进两块“钢刀板”,硬是将女演员横截三段。随即又把中间的一段推向一边,就像读者在左图中见到的那样。如果不是因为观众亲眼见到了位于三分柜外的,女郎的头手和脚依然还会活动的话,说不定会有人怀疑,在眼前的舞台上是否发生了一起凶杀案!其实看一看下边的图,读者的心也就完全释然了! 不过,本节所要讲的结绳戏法,却是一种科学! 这里并不存在假象,所有的都是必然的结果。只是复杂的拓扑变换,超出了观众想象所能达到的程度。 读者都有这样的经验:两头接起来的绳子,如果在连接之前没有打过结的话,那么连接起来之后便不会有结了!反过来,起初如果已经打过结,那么连接起来之后,这个结将会永远存在。 *简单的绳结有两种。为了让读者看得更清楚,我们特意把这两种绳结打得非常松。正如读者在右图中见到的那样,这两种绳结是互为镜象的! 可能有人以为,把这两种方向相反的结打在一根绳子上,然后把它们移在一起,便会互相抵消。读者试一试就会知道,这是不可能的!数学家已经找到了这一经验事实的严格证明。 下图(Ⅰ)的三个绳环是互相套在一起的。如果你剪断其间的任何一个环,其余的两个环仍然互相套着。下图(Ⅱ)却不同,三个绳环虽然也互相套着,但只要剪断其中的一个环,三个环便 立即互相脱离。 建议读者照下图(Ⅱ)做三个绳圈套,然后把其中不涂色的两个绳圈用力往外拉,结果黑色的绳圈产生了变形,变成图(Ⅲ)的模样。图中黑色绳圈的套法,无疑可以如同下图那样,一个套着一个,连成一条长长的环状绳套链。我们只要随便剪断绳套链中的一只绳套,所有的绳套便全然分崩离析! 有一种很著名的打结法叫“契法格结”,这是一种假结,在结绳戏法中常常使用。契法格结的打法是:如图,先打一个正结,再打一个反结,然后像*右边的图那样,串绕起来。这时如果抓住绳子的两头一拉,立即会恢复成原先的一条绳子。 下面让我们再欣赏一些有趣的结绳游戏。读者很快就会发现,我们前面学过的拓扑学知识,是怎样巧妙地融合在这些戏法里。 有一个非常简单的拓扑游戏,它对于锻炼人们思维无疑是有益的:有六个一样的铁圈用绳子串着,绳子的两端如下图那样开着。你能把当中的两个铁圈取出来,却又使两端的铁圈不脱离绳子吗? 我想聪明的读者一定都能想得出来,但我们还是和下面的题目一起,把答案附在本节的末尾。 另一种非常精巧的结绳戏法叫“巧解剪刀”:用一根细绳像右图那样拴结在剪刀上。剪刀的手柄是闭合的,绳子的另一头连着一个健身圈,其含意是不允许绳头从剪刀的手柄中穿回去。请问,在不允许把绳子剪断的前提下,你能把绳子从剪刀上脱下来吗? 可能有些读者对这类问题还不太适应,那就先做一做下面稍微简单但却颇相类似的题目吧! 可能后者的解决,将增加你对前者解决的信心和把握! 将一把圆珠笔用细绳拴一个套,然后如图将它穿过上衣的纽扣孔,拉紧后变成很像“巧解剪刀”中的那种死扣。现在你试着把它解开,这是容易办到的,因为还原回去就行了! 然而这样的还原,对于“巧解剪刀”问题却是极有启发的。 还有一个可以使人眼界大开的结绳把戏:取一条约一米长的圆绳,如下图把它结成三四个绳结(一定要照图样打结!)然后在下方标有“×”的地方用剪刀剪断,现在把绳子向两端拉直,于是奇迹出现了:在纷纷扬扬落下一些绳头之后,眼前又出现了一条完整的绳子! 这一节介绍的许多有趣的戏法,都可以搬到你们班级的晚会上去。我深信:你的精彩表演,一定会引起不小的轰动呢! 【几种游戏的答案】 1°当中取圈。把绳的两头扣起来,将其一端上的两只铁圈通过绳结移到另一端去,然后再将绳子解开,现在取走中间的两只铁圈便很容易了! 2°巧解剪刀。解法如下图: 否定中的肯定 这是一个有趣的智力游戏。 老师为了测试甲乙丙丁四名学生的分析推理能力,拿了五顶式样相同的帽子给他们看,并强调说:“这里有两顶白帽,一顶红帽,一顶黄帽,一顶蓝帽”。接着他让四人依序坐在四级台阶上,然后叫他们闭上眼睛,又替每人戴上一顶帽子。*后,他让学生们张开眼睛,并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。 结果是出人意外的。虽说坐在后面的人看得见前面的人所戴帽子的颜色,但甲、乙、丙三人看了看并想了想,都摇头说猜不出来。某丁坐在*前面,他看不到别人的帽色,但此时却 发话了,说他业已猜到自己所戴的帽子颜色。 丁是如何断定自己的帽色呢? 可能聪明的读者已经猜出了游戏的谜底。其实某丁的判断并不难,他是这样思考的: “某甲得天独厚坐得*高,能看到其余三人的帽子,他为什么说猜不出来呢? 肯定他看到了前面有人戴着白帽。因为假如前面的人都戴杂色帽的话,那么他就能猜出自己所戴的是非白帽而莫属了。再说某乙,她可是个聪明人,某甲的想法,她自然了如指掌。那么她为什么也说猜不到呢? 一定是她也看到了前面有人戴着白帽。不然的话,她就会从某甲的态度和其他人的帽色,判断自己戴着白帽。*后说某丙,她的智商绝不比某乙低,可她为什么也说猜不到呢! 理由只能是一个,就是她看到了我头上戴着白帽。” 就这样,某丁从众人的否定中对自己的帽色作了肯定! 上面的游戏可以推广到多个人,但杂色帽要比人数少一,而白幅则至少两顶。推理的方法是一样的。只是无论结论是肯定的还是否定的,思维都必须符合一定的规律。 逻辑思维的基本规律是什么呢? 总的说有以下三条: (1)同一律:即思维应自始至终保持统一; (2)矛盾律:即思维中两个相反或不相容的判断不能都真。 (3)排中律:在思维过程中,对一个逻辑上的判断,要么肯定,要么否定,非假即真。 以上三条规律,从不同角度对人类正确思维的一贯性、确定性和无矛盾性提出要求。 要指出的是:有不少人以为,由“是”与“不是”构成的句子一定是相反的判断。假如其中有一句是正确的,那么另一句就一定不正确。实际上这种看法未必都对。以下的“阿契贝难题”,可能会使你感到惊讶不已! 阿契贝喜欢研究形式逻辑,有一次他遇到下面的两句话: “××是○○○” “××不是○○○○” 这两句中,每句前面的“××”表示相同的词,后面的“○○○”也表示相同的词。它们的区别仅在于中间的“是”与“不是”。然而,两句却都是正确的! 可能有些读者会感到不可思议,其实这是由于脑中过分萦绕着“A不等于非A”这类形式逻辑观点的缘故。但是,如果两句话主语用词虽则相同而所代表的内容却不一样的话,那么即使表语一样,也未必会出现逻 辑上的矛盾。例如: “本句是六字句。”“本句不是六字句。” 这是阿契贝难题的一种解答。两句中,前一句与后一句的主语“本句”,其包含的内容是不相同的。 下面的故事将帮助你进一步熟悉逻辑思维的规律。 老虎占山为王,号令百兽。 一天,老虎肚子饿了,想变换花样搞点动物吃吃。于是召来小鹿、狐狸、兔子和猴子,要大家说说他嘴里的气味,以考察他们的忠诚。 梅花鹿首先被指定回答,他据实禀报,说老虎王口臭很重,结果以“诽谤”罪名被杀。狐狸见势不妙,立即拍了一个溜须马屁,说是虎大王金口不仅不臭,而且飘香万里。不料老虎却不买这个帐,公然承认自己爱吃肉,嘴里不可能是香的。狐狸终于也被杀。兔子胆颤心惊,两眼出血。他吸取前车之鉴,诚惶诚恐地禀报:“陛下之口很难说是臭还是不臭。”老虎听了,勃然大怒,说是决不允许骑墙折衷者留存世间! *后轮到猴子,猴子挠了挠后脑,毕恭毕敬地走到老虎面前说:“大王,我*近有点感冒,鼻子不通,如能让我回去休养几天,等鼻子通了,我就能准确说出大王嘴里的味道。”老虎词穷,只好放走猴子。猴子自然乘机逃之夭夭。 故事到此为止,请读者用逻辑观点分析一下,为什么梅花鹿、狐狸和兔子都没能逃脱厄运,而唯独猴子却能转危为安? 猴子的话有没有违背排中律? 我相信,这些问题将会伴随你度过一个愉快的夜晚! 有时人们从一些貌似正确可以接受的约定出发,经过简明而正确的推理,竟然会得出自相矛盾的结论。这样的议论称为悖论。“悖”就是混乱、冲突的意思。例如给定一个命题A,同时会有: 同时为真,这是违背逻辑规律的。 悖论在日常生活中并不少见。某图书馆为了方便读者,将本馆藏书每册一号,编成一本“目录”。现在问:这本“目录”本身是否编入目录中? 回答可能会很使你为难。 古希腊是一个充满神话的国家。有这么一个传说:一条鳄鱼从一位母亲手里抢走了一个小孩。鳄鱼想吃掉这个小孩,又希望名正言顺,于是自作聪明地对这位母亲说: “我会不会吃掉你的孩子? 如果你答对了这个问题,我将把孩子不加伤害地还给你。” 这位母亲思虑片刻回答道: “呵! 呵! 你要吃掉我的孩子的。” 这一来,贪婪的鳄鱼遇到了难题:“说孩子母亲回答的不对吧,那么我就可以吃 掉 她 的 孩 子,但 她 明 明 说 我 要 吃 掉 她 的 孩子,这岂不又成对了吗? 如果说她回答是对的,这就是说我要吃掉她的孩子,但我又必须把孩子不加伤害地还她! 天哪! 这该怎么办?!” 笨拙的鳄鱼给弄懵了,为了假惺惺表示尊重诺言,只好把孩子还给了这位机智的母亲。 悖论渊源于相当久远的年代。著名的“说谎者”悖论出现于公元前六世纪。大意是:克利特岛上的E先生说:“克利特岛上的人是说谎者 ”。不难发现,无论怎样回答都将出现矛盾。 在近代数学中*有影响的是所谓“罗素悖论”。公元1902年,英国数学家罗素(Russell,1872~1970)针对集合论初创时期基础理论不够完善,提出以下著名的议论: “把所有集合分为两类,**类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以其自身为元素。假令**类集合所组成的集合为P,第二类集合所组成的集合为Q,于是有 P={A|A∈A} Q={A|A??A} 问:集合Q是属于**类集P呢? 还是属于第二类集Q?” 从逻辑上讲,这个问题的回答只能是“Q∈P”或“Q∈Q”两种,二者必居其一。然而无论哪种回答都会引申相反的结论。 悖论的产生,在逻辑上,违背了人类正确思维所应遵循的基本规律。对素以严谨著称的数学,悖论自然不能永久允许。但它却可以促使数学家们去进行严肃的思考,并寻找那导致悖论的原因,从而创造出一个至少在逻辑上完美协调、无懈可击的科学理论。