微积分

目录
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间与邻域 1
1.1.2 函数 2
1.1.3 函数的特性 4
1.1.4 复合函数、反函数、隐函数、分段函数 7
1.1.5 初等函数 9
1.1.6 函数关系的建立 9
1.2 极限 11
1.2.1 数列的极限 11
1.2.2 函数的极限 15
1.2.3 极限的运算法则 20
1.2.4 极限存在准则、两个重要极限 22
1.2.5 无穷小与无穷大 28
1.3 函数的连续性 35
1.3.1 函数连续性的概念 35
1.3.2 函数的间断点 37
1.3.3 初等函数的连续性 38
1.3.4 闭区间上连续函数的性质 39
1.4 经济学上的应用 41
1.4.1 常见的经济函数 42
1.4.2 函数在经济学中的应用 44
习题1 44
第2章 导数与微分 49
2.1 导数的概念 49
2.1.1 引例 49
2.1.2 导数的定义 50
2.1.3 由定义求简单函数的导数 51
2.1.4 导数的几何意义与物理意义 53
2.1.5 可导与连续的关系 54
2.2 一阶导数基本求法 55
2.2.1 四则运算法 55
2.2.2 反函数求导法 57
2.2.3 复合函数求导法 58
2.2.4 公式法 59
2.2.5 隐函数求导法 60
2.2.6 对数求导法 61
2.2.7 参数方程求导法 61
2.3 高阶导数 62
2.3.1 初等函数的高阶导数 62
2.3.2 两个函数乘积的高阶导数 63
2.3.3 隐函数的二阶导数 64
2.3.4 由参数方程所确定函数的二阶导数 64
2.4 微分 65
2.4.1 引例 65
2.4.2 微分的定义 65
2.4.3 微分与导数的关系 66
2.4.4 微分的几何意义 67
2.4.5 微分的基本公式及运算法则 67
2.4.6 微分在近似计算中的应用 69
习题2 70
第3章 微分中值定理与导数的应用 72
3.1 微分中值定理 72
3.1.1 罗尔(Rolle)定理 72
3.1.2 拉格朗日(La-ran-e)中值定理 73
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 76
3.1.4 微分中值定理间的关系 76
3.2 洛必达法则 77
3.2.1 或不定型 77
3.2.2 0 ∞，∞-∞，00，1∞，∞0 不定型 80
3.3 利用导数研究函数的性态与作图 81
3.3.1 函数的单调性 81
3.3.2 函数的极值 83
3.3.3 函数的*值 86
3.3.4 曲线的凹凸性与拐点 87
3.3.5 曲线的渐近线 90
3.3.6 描绘简单函数的图形 92
3.4 曲率与曲率半径 94
3.4.1 弧微分 94
3.4.2 曲率 95
3.4.3 曲率半径 96
3.5 导数的经济应用 97
3.5.1 边际 97
3.5.2 弹性 100
3.5.3 *值问题 103
习题3 105
第4章 不定积分 107
4.1 不定积分的概念 107
4.1.1 原函数的概念 107
4.1.2 不定积分的概念 108
4.1.3 不定积分的几何意义 109
4.1.4 不定积分的性质 109
4.1.5 不定积分的基本公式 109
4.2 不定积分的计算方法 111
4.2.1 **换元积分法——凑微分法 112
4.2.2 不定积分第二换元积分法 114
4.2.3 不定积分分部积分法 115
4.3 有理函数的积分 117
4.3.1 有理函数的积分 118
4.3.2 可化为有理函数的积分 119
习题4 121
第5章 定积分 124
5.1 定积分的概念 124
5.1.1 定积分的概念 124
5.1.2 定积分的性质 128
5.2 变上限积分 130
5.2.1 变上限积分与原函数存在定理 130
5.2.2 对变上限积分的积分上限求导的有关问题 131
5.3 牛顿-莱布尼茨公式 133
5.4 定积分的计算方法 134
5.4.1 **换元积分法 135
5.4.2 第二换元积分法 135
5.4.3 分部积分法 137
5.5 广义积分 138
5.5.1 无穷限广义积分 138
5.5.2 无界函数的广义积分 140
5.6 定积分的应用 142
5.6.1 几何应用 142
5.6.2 物理应用 151
5.6.3 经济应用 155
习题5 156
第6章 二元函数微积分 161
6.1 二元函数的基本概念 161
6.1.1 平面点集 161
6.1.2 二元函数概念 162
6.1.3 二元函数的极限 163
6.1.4 二元函数的连续性 164
6.2 二元函数微分法 165
6.2.1 二元函数偏导数的定义 165
6.2.2 二元函数偏导数的计算方法 166
6.2.3 二元函数的二阶偏导数 169
6.2.4 二元函数的全微分 169
6.3 二元函数微分法的应用 172
6.3.1 数学应用 172
6.3.2 经济应用 177
6.4 二元函数积分法 178
6.4.1 二重积分的概念与性质 179
6.4.2 二重积分的计算方法 182
习题6 188
第7章 微分方程与差分方程 190
7.1 微分方程的基本概念 190
7.1.1 引例 190
7.1.2 微分方程的概念 191
7.2 一阶微分方程的解法 192
7.2.1 可分离变量的微分方程 192
7.2.2 齐次微分方程 195
7.2.3 一阶线性微分方程 197
7.3 可降阶的高阶微分方程 201
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 201
7.3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程 201
7.3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 202
7.4 二阶常系数线性微分方程 203
7.4.1 二阶线性微分方程解的性质 203
7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解 204
7.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解 206
7.5 差分方程的基本概念 209
7.5.1 差分的概念 209
7.5.2 差分方程的基本概念 210
7.6 一阶常系数线性差分方程 211
7.6.1 线性差分方程解的结构与性质 211
7.6.2 一阶常系数齐次线性差分方程的求解 212
7.6.3 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 213
7.7 微分方程与差分方程的简单经济应用 216
习题7 220
第8章 无穷级数 223
8.1 常数项级数的概念与性质 223
8.1.1 常数项级数的概念 223
8.1.2 无穷级数的基本性质 227
8.2 常数项级数的审敛法 228
8.2.1 正项级数 229
8.2.2 交错级数 234
8.2.3 任意项级数 235
8.3 幂级数 237
8.3.1 幂级数及其敛散性 237
8.3.2 幂级数的运算性质 241
8.4 泰勒级数 243
8.4.1 泰勒公式 243
8.4.2 泰勒级数 245
8.4.3 初等函数的幂级数展开 246
8.4.4 幂级数的应用 250
习题8 253
第9章 微积分学中的数学实验 256
9.1 Matlab简介 256
9.1.1 Matlab窗口环境 256
9.1.2 Matlab命令形式 257
9.1.3 基本数学运算 257
9.1.4 M 文件与函数调用 260
9.1.5 符号工具箱的使用 261
9.2 Matlab求解微积分问题 264
9.2.1 函数的计算 264
9.2.2 函数作图 264
9.2.3 函数极限的计算 268
9.2.4 导数的计算 270
9.2.5 函数极值的计算 272
9.2.6 积分的计算 272
9.2.7 方程的求解 275
9.2.8 无穷级数 279
习题9 281
第10章 微积分学中的数学模型 283
10.1 数学模型的基本概念和主要方法 283
10.1.1 原型与模型 283
10.1.2 数学模型 283
10.1.3 数学模型与数学 283
10.1.4 评价数学模型的标准 284
10.1.5 数学建模常用方法 284
10.2 连续函数性质的应用举例 285
10.2.1 问题的提出 285
10.2.2 模型假设 285
10.2.3 模型建立 285
10.2.4 模型求解 286
10.3 导数与微分方程的应用举例 286
10.3.1 问题背景 286
10.3.2 问题的提出 287
10.3.3 模型的构建 287
10.3.4 模型的求解 288
10.4 导数与微分的应用举例 288
10.4.1 问题背景 288
10.4.2 问题分析与求解 288
10.5 导数与微分的应用举例 289
10.5.1 问题的提出 289
10.5.2 模型的构建 289
10.5.3 模型的应用 290
10.6 积分的应用举例 291
10.6.1 问题背景 291
10.6.2 问题分析 292
10.6.3 模型建立与求解 292
10.7 微分方程的应用举例 296
10.7.1 问题的提出 296
10.7.2 模型假设 296
10.7.3 模型构成 297
10.7.4 模型应用 298
10.8 差分方程的应用举例 298
10.8.1 问题的提出 298
10.8.2 模型的构建和求解 298
10.8.3 模型的应用 302
习题10 302
数学二考研模拟试题一 304
数学二考研模拟试题二 307
数学二考研模拟试题三 310
数学二考研模拟试题四 313
数学二考研模拟试题五 316
数学三考研模拟试题一 319
数学三考研模拟试题二 322
数学三考研模拟试题三 325
数学三考研模拟试题四 328
数学三考研模拟试题五 332
习题参考答案 335
数学考研模拟试题答案 348
参考文献 357
附录 358
A.1 常用数学公式 358
A.2 基本初等函数的图形和主要性质 361
A.3 几种常用的曲线 363
A.4 导数与微分的基本公式和法则 364
A.5 基本的积分表 365
A.6 几个初等函数的高阶导数公式 366
A.7 几个初等函数的麦克劳林公式 366