高等数学(上册)

第0章 认识高等数学 0.1 高等数学产生源泉 对数学，大家都不陌生.从小学到中学，大家不断受到数学解题的训练和数学思想的熏陶，因此，都具备了一定的数学基础.尽管兴趣大小不同，喜爱程度不一，但经过多年学习，数学已经成为大家知识的重要组成、能力的重要支撑. 今天的人类更是生活在数字时代.数字和数学已经成为人们日常生活的组成部分，很难想象一种完全脱离数字和数学的现代生活! 追根溯源，数学是伴随着人们生产生活的进程产生并发展起来的.在认识和改造世界的过程中，有了感性认识之后，自然就出现了对理性定量认识的需求.定量认识，是数学产生的一个根本驱动;服务定量认识，是发展数学的一个永恒主题.稍加回顾，不难发现，小学数学的算术和代数内容，来源于“计数”的需要;中学数学的几何内容，来源于对平面或立体图形“计量”的需要.因此，“数”和“形”就成为中学之前大家学习数学的两个基本对象.正是通过对这两个基本对象的探讨，形成了早期数学的理论，产生了早期数学的方法，服务了当时生产生活和理性追求的需要，进而在人们认识和改造世界的进程中发挥了十分重要的作用.现在，人们习惯把这些早期的数学称为初等数学. 但是，随着社会的发展以及人类认识和改造世界的需要的不断提升，出现了大量需要解决但利用初等数学又不能解决的问题.于是，仍然以“数”和“形”为讨论对象，并在初等数学基础上发展起来的新数学，便随着新需要的驱动而产生了.这些新数学就是我们将要学习的高等数学. 下面是几个具有代表性的经典例子.人们需要答案，但用初等数学方法，一般不能得到解决. 质点直线运动规律的定量刻画.在中学，通过初等数学的学习大家知道，对于匀速直线运动，即当一运动的速率v=v(t)=v0为常数时，其运动方程是s=v0t(图0.1).对于匀变速直线运动，设其初速率为v0，加速度为常数a，它不随t的变化而变化，则该运动在时刻t的瞬时速率为，其运动方程是(图0.2).当a=0时，匀变速直线运动简化为匀速直线运动. 图0.1 图0.2 但是，在现实世界中，匀速直线运动和匀变速直线运动的例子是很少的，人们遇到的更多是其他更加一般的情况.因此，在一般情况下，怎样与上述特殊情况类似，去清楚地刻画一个质点的直线运动方程s=s(t)和它在某一时刻的瞬时速率v=v(t)之间的联系，换句话说，当函数s(t)已知时，怎样去求v(t)，或当函数v(t)已知时，怎样去求s(t)，便是一个很现实的数学问题.这类问题，初等数学一般难以解决.正是对这类问题的研究和讨论，形成了高等数学的一类核心内容：导数、微分和不定积分. 平面图形面积的定量刻画.在中学平面几何的学习中，大家知道，对于各边均是直线的简单平面图形，大多可以给出其面积的计算公式.比如，边长分别为a和b的长方形，其面积S=ab(图0.3);一个边长为a，该边上的高为h的三角形，其面积(图0.4);上底和下底分别为a和b，高为h的梯形，其面积(图0.5)，等等.但是，对于一些边不是直线的稍微复杂一点的平面图形，初等数学一般很难给出面积的计算公式.比如，怎样去求一个圆被一条直线划分后两部分的面积，这些内容在中学就不学习.对这类问题的研究和讨论，一个十分自然的期待就是，如果在一定条件下，能够近似用直线来代替图形中的非直线边，问题或许就能够得到解决.事实上，正是这种期待激发了“以直代曲”思想的产生，并以此为基础和先导，形成了高等数学的另一核心内容：定积分. 图0.3 图0.4 图0.5 希腊神话中一个悖论背后的哲理.第三个具有代表性的经典例子，是与合理解释古希腊神话中的下面的悖论相联系的.据说，古希腊有一个长跑健将名叫Achilles，奔跑速度非常快，耐力十分强.假设他与一只乌龟赛跑，并假定乌龟在Achilles前面100米的A处，二者同时出发.当Achilles从A处后面100米处跑到A处时，他一定需要一段时间，而在这段时间内，乌龟一定从A处前移一段距离到达B处.因此，Achilles要赶上乌龟，就必须再从A处赶往B处.但在这段时间内，乌龟又从B处前移到了C处，于是Achilles也要从B处赶往C处.而此时，乌龟又前移到了D处(图0.6).如此类推，Achilles永远也赶不上乌龟.但事实上，常识告诉我们，在很短时间内，Achilles一定能够赶上并超过乌龟.因此，这明显是一个悖论.不学高等数学，仅从人类思维逻辑和初等数学出发，就难以对上述悖论给出令人信服的解释.对该例子精准的理论探究，要用到形成高等数学知识体系的第三个核心内容：级数. 图0.6 当然，高等数学还有很多其他内容，它们大多都有十分鲜明的应用背景，读者在学习过程中可以逐步加以体会. 0.2 为何学习高等数学 从既简单又朴素的角度看，学习的目的一是丰富知识，增强认识能力，二是获得方法，解决实际问题.学习高等数学就是为了更好地服务于这两个目的.希望读者通过学习高等数学，能从追寻角度了解高等数学的渊源，从哲学角度领会高等数学的思想，从方法角度掌握高等数学的应用. 首先，高等数学是大学所有后续课程的知识基础.凡是后续课程中涉及定量问题的知识，几乎都离不开高等数学.学好高等数学是学好其他专业课程的基础.反之，学不好高等数学，将会对后续专业课程的学习带来很大困难.其次，高等数学将为大家提供一个锻炼和提高逻辑思维能力的舞台.掌握了高等数学的思想和方法，会极大地增强认识和思考问题的严谨性，从而提升逻辑思维方面的素质和能力.第三，高等数学能够提供一种解决问题的思想方法.这种思想方法区别于初等数学的一个显著特征是，初等数学处理问题大多是“一事一议”，而高等数学处理问题的特点是“一种思想，一以贯之，一种方法，广泛应用”.有了高等数学，一系列初等数学不能解决的疑难问题往往迎刃而解.也正是有了高等数学，才使数学在传承人类文明和进步中的基础地位，更加毋庸置疑，使数学在现代社会中的重要作用，更加无可替代. 大部分理工科专业的学生，在大学一年级都要学习高等数学.现在，很多文科专业也都开设了高等数学.这是因为高等数学在培养大学生的素质和能力方面，发挥的作用越来越大，在大学知识体系中的作用越来越重要.人类社会的进步历史，与数学的广泛应用是分不开的.现代数学已经成为科技发展的强大动力，正越来越广泛地深入渗透到社会生活的各个领域.因此，学好高等数学对于学习、工作、生活都很重要! 0.3 高等数学思想方法 高等数学特有的核心思想方法，是读者在中学有过初步了解的极限思想方法.从概念上粗略但直观地看，极限就是某个变化状态能够无限接近但未必达到的一个尽头，或者说是一个极致界限.因此，就概念而言，极限二字可以由中文字面含义顾名思义.极限一词的英文表述是limit，由清代数学家李善兰①(图0.7)翻译而来.中文翻译与limit一词数学含义的高度匹配，令人惊叹.所谓极限思想，就是通过分析可以无限接近某一极限状态的各种变化状态，来理解想要了解的极限状态的思想.所谓极限方法，就是利用极限思想而产生的解决问题的方法.于是，极限思想把需要了解的一种状态，与它附近的各种状态及其变化过程，有机联系在了一起.它是一种用运动变化和联系的观点看待并分析解决问题的思想，因此深化和提升了用孤立和静止的观点看待分析问题的初等数学思想.这是高等数学看待和思考问题与初等数学的本质区别，是数学发展的一场思想革命.极限思想贯穿高等数学始终，是高等数学乃至现代数学的一个主灵魂，其本质性、重要性和核心性，是无论如何强调都不过分的.极限概念、极限思想、极限理论和极限方法，需要认真琢磨体会! 图0.7 李善兰 尽管没有形成系统理论，但是利用极限的思想和方法，认识思考问题和分析解决问题，我国古代早已有之.比如，在庄周所著《庄子》一书的“天下篇”中，就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的认识.“一尺之棰，日取其半”，是在叙述一个做法;“万世”，是在叙述无限接近永远但又不达永远的一个过程;“不竭”，是在描述认识的结果：尽管棰的长度在不断减少，但再长的时间，棰的长度也不会是其极限状态，即不会长度为0.这种认识问题的思维明显已经是极限思维，而其描述的不竭结果，正是古人对极限问题性质的一个比较深刻的认知.再如，魏晋时期刘徽①(图0.8)在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.割圆术用现在的话说，相当于用圆的内接正多边形的周长去近似代替圆的周长.“割之弥细”，就是让正多边形的边数不断增加;“所失弥少”，是认识到了两者误差越来越小;“以至于不可割”，是在描述达到的极限状态.“与圆周合体而无所失矣”，是在叙述其认识到的结果.因此，这是一个结合“以直代曲”的观点，完整地利用极限思想方法，来解决实际问题的典型例子. 在西方，公元前3世纪，古希腊的Archimedes②(阿基米德，图0.9)在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积、旋转双曲体的体积问题时，也使用了类似于刘徽割圆术的思想.当然，阿基米德的结果更加系统完整. 图0.8 刘徽 图0.9 Archimedes 0.4 高等数学知识对象 图0.10 徐光启 高等数学的几乎全部知识都是围绕函数建立的，因此，函数是高等数学的知识对象和知识载体.它既是高等数学中*具有基础性的核心概念，也是高等数学的核心研讨对象.函数一词大家并不陌生.自小学至中学，大家已经学习过了很多种函数，比如指数函数、对数函数、三角函数等.函数的英文单词是function，它是在明朝末期由徐光启①(图0.10)翻译成中文的.一般说来，当一个量由另外一个或几个变化的量通过某种联系**确定时，它便成为这一个或几个变化的量的函数.基于此，在高等数学中，变化的量，即变量，就成为*具原始地位的一个概念.一般的函数多种多样，高等数学的主要研究对象是一元或多元函数.高等数学解决问题的**步，总是把要解决的问题归结为函数，然后利用极限研究函数的各种分析性质，进而给出问题的答案. 初等数学中的加法运算是*基本和*重要的运算.回顾一下，就会发现，当时加法运算的项数都是有限的!但是，在有了高等数学的极限思想之后，有限相加的