数学悖论与三次数学危机

序（张景中） / iii
前言　/ v
第 一部分
毕达哥拉斯悖论与第 一次数学危机
第 1　章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 /　2
古老的定理　/　2
勾股定理的广泛应用及其地位　/　8
第 2　章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 /　12
智慧之神：毕达哥拉斯　/　12
毕达哥拉斯学派的数学发现　/　16
毕达哥拉斯学派的数学思想　/　24
勾股定理证法赏析　/　35
第3　章 风波乍起：第 一次数学危机的出现 /　45
毕达哥拉斯悖论　/　45
第 一次数学危机　/　50
第4　章 绕过暗礁：第 一次数学危机的解决 /　58
欧多克索斯的解决方案　/　58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案　/　65
第5　章 福祸相依：第 一次数学危机的深远影响 /　70
第 一次数学危机对数学思想的影响　/　70
欧几里得和《几何原本》　/　75
第 一次数学危机的负面影响　/　82
第 二部分
贝克莱悖论与第 二次数学危机
第6　章 风起清萍之末：微积分之萌芽 /　86
古希腊微积分思想　/　86
微积分在中国　/　104
第7　章 积微成著：逼近微积分 /　116
蛰伏与过渡　/　116
半个世纪的酝酿　/　121
第8　章 巨人登场：微积分的发现 /　133
牛顿与流数术　/　133
莱布尼茨与微积分　/　143
巨人相搏　/　150
第9　章 风波再起：第 二次数学危机的出现 /　153
贝克莱悖论与第 二次数学危机　/　153
弥补漏洞的尝试　/　158
第 10　章 英雄时代：微积分的发展 /　166
数学英雄　/　166
分析时代　/　172
第 11　章 胜利凯旋：微积分的完善 /　183
分析注入严密性　/　183
分析的算术化　/　196
第三部分
罗素悖论与第三次数学危机
第 12　章 走向无穷 /　204
康托尔与集合论　/　204
康托尔的难题　/　217
第 13　章 数学伊甸园 /　220
反对之声　/　220
赞誉与影响　/　228
第 14　章 一波三折：第三次数学危机的出现 /　232
罗素悖论与第三次数学危机　/　232
悖论分析与解决途径　/　239
第 15　章 兔、蛙、鼠之战 /　246
逻辑主义　/　246
直觉主义　/　254
形式主义　/　260
第 16　章 新的转折 /　268
哥德尔的发现　/　268
数理逻辑的兴起与发展　/　274
附录　哥德尔证明 /　285
第 一步：哥德尔配数　/　286
第 二步：构造自指命题　/　296
第三步：证明哥德尔不完全性定理　/　300
参考文献　/　307