应用概率统计(第三版)

第1章　事件及其概率 1.1随机事件 自然界中有许多现象在一定条件下一定会出现.例如：“在无外力作用条件下，做匀速直线运动的物体必然继续做匀速直线运动”“在标准大气压下，水加热到100℃时必定沸腾”“同性的电荷互相排斥”等，都是一定会出现的.而上述现象的反面，即“在无外力作用下，做匀速直线运动的物体不再继续做匀速直线运动”“在标准大气压下水加热到100℃时不沸腾”“同性的电荷相互吸引”等，是必然不会出现的.在一定条件下必然出现的结果称作必然事件(certain　event).在一定条件下必然不出现的结果称作不可能事件(impossible　event)，必然事件的反面是不可能事件.这类在一定条件下必然出现或必然不出现的现象都称为确定性现象(deterministic 　phenomenon). 与确定性现象相对的是偶然性现象(occasional　phenomenon).这类现象在一定条件下可能出现，也可能不出现.例如掷一枚硬币时可能出现正面向上，也可能出现反面向上，事先显然不能确定哪一面向上，也就是说“正面向上”可能出现也可能不出现.这类现象也称为随机现象(random　phenomenon).研究掷一枚硬币的例子我们可以得出下面的基本概念. 我们掷一枚硬币，观察出现正面还是出现反面为一个随机试验(random　experi-ment)，简称试验(trial)，记作E.随机试验有如下特点:试验在相同条件下可重复进行;试验的结果不止一个，但知道试验所有可能的结果;一次试验进行之前不能确定哪一个结果出现. 随机试验的一个可能的结果记作，称为样本点(sample　point)(或称为基本事件)，随机试验的所有可能的结果的全体称为样本空间(sample　space)(或称为基本事件空间)，记作，亦即.我们先举出下面的一些例子. 例1.1.1E:“掷一枚骰子观察所出现的点数”；可能出现的结果为1;2;3;4;5;6 例1.1.2E:“两名候选人甲、乙竞选学生会主席，记票结果为甲所得到的选票数”；在这一问题中选举人只能选甲乙二人中之一，共有n张有效选票，那么可能出现的结果是 例1.1.3E:“观察某景点一天中到达的游客数”；可能的结果是 例1.1.4E:“观察一只灯泡的使用寿命”；可能出现的结果可以是任一非负实数. 例1.1.5E:“向平面上某有界区域-投掷炸弹而观察炸弹的落点位置”；可能的结果表示落点的坐标为；如果简记为，那么样本空间就是有界的平面区域. 由上述例子可以看出，样本空间中样本点的数目可以是有穷多个，如例1.1.1，例1.1.2；也可以是可数多个(能和自然数建立一一对应的无穷集合的元素数目称为可数无穷(countable　innite)多个)，如例1.1.3；也可以是不可数无穷多个，如例1.1.4，例1.1.5. 我们是通过随机试验考察随机现象的.称样本空间-的子集为一个随机事件(random　event)，简称事件，常用大写英文字母;或;来表示随机事件.例如掷骰子时，“出现奇数点”是一个随机事件，可记为.在例1.1.2中，事件B:“甲得选票数不超过3张”是由4个样本点组成，即得到或3张选票，记.例1.1.4中，事件C:“灯泡寿命不超过1000小时”，可记为C=[0;1000].不难看出，随机事件都是样本空间的子集.通常我们把必然事件和不可能事件也当作随机事件处理，分别记为和.通过试验研究随机事件时我们只关心随机事件是否出现.当且仅当随机事件A所包含的某一样本点出现时称为A出现.例如，选举记票结果甲得2张选票，就称事件B出现.观察某灯泡寿命结果为900小时就称事件C出现，等等. 1.1.1事件的运算 由于随机事件定义为样本空间的某个子集，因此事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是一致的. 若事件A出现必导致事件B出现，就称B包含(contain)A，或称A是B的特款，记作B.A或A.B.若A.B且B.A，就称A与B相等(equivalent)，记作A=B.例如在例1.1.1中，“掷骰子出现奇数点”“出现点数不大于，那么. “二事件中至少有一个出现”也是一个事件，称之为的和(union)，记作.事件也可称为事件“或A出现，或B出现”事件的和可以推广到有限多个甚至可数多个事件的情形：事件中至少有一个出现”称为的和，记为；类似地，中至少有一个出现”. “二事件A;B同时出现”也是一个事件，称之为A;B的交(intersection)，记作或AB类似地，同时出现”称为的交，记作同时出现”称为的交，记作.例如“掷骰子出奇数点”“出现的点数是3的倍数”，那么. 定义事件“A出现而B不出现”为A与B的差，记作.例如A=“掷骰子出偶数点”“点数不大于，那么. 如果两事件不能同时发生，即，就称是互不相容(mutually　exclusive)的，也可称为是互斥(exclusive)的.例如，A=“掷骰子出偶数点”，B=“出奇数点”，那么，A和B是互不相容的. 如果事件同时满足和，就称事件A与B互逆(mutually　inverse)，也称互为对立事件(complementary　events).这就是说在每次试验中事件必有一个出现，但不能同时出现.A的对立事件记为A，于是与互为对立事件. 从以上论述可以看出事件与事件的运算和集合论中的集合与集合的运算是一致的.例如，用随机事件的语言，事件A是B的特款，指的是A出现必导致B出现；设样本点，当出现时A出现，同时由条件则导致B一定出现，故此，这证明集合.反之，用集合论的语言，设集A含于集B，即；当事件A出现时，必有A中某样本点出现，由于集合，这说明，即事件B必然出现，这说明事件A是B的特款.因此“事件B包含事件A”与“集合B包含集合A”是一致的.读者可以证明其他概念的一致性.比如“事件A是事件B的对立事件”与“集合A是集合B(关于全空间-)的余集”是一致的.事件间的关系与集合间的关系的一致可以用图形来表示，读者可自己做出事件概念中和A与B互不相容的图表示. 事件运算与集合运算同样有下面的运算律.关于事件和有A[B=B[A(交换律)；(结合律)；(幂等律)；关于事件的交有(交换律)；(结合律)；AA=A(幂等律)；关于事件和与交的混合运算有(分配律)；(对偶律).上面这些运算律中的运算可以推广到有穷多个或可数无穷多个的情形. 在本门课程的学习中要学会把具体的事件用数学表达式表示出来，也要学会把抽象的数学公式用具体的直观的语言描述出来.我们看下面的例子. 例1.1.6设A;B;C是某随机试验中的事件，那么 事件“A与B出现但C不出现”可表示为ABC； 事件“三事件A，B，C中至少有一个出现”可表示为； 事件“三事件A，B，C中恰好有一个事件出现”可表示为 例1.1.7是随机事件，对偶律表示中至少有一个出现的对立事件是都不出现； 表示都出现的对立事件是中至少有一个不出现. 1.2频率与概率 当我们多次做某一随机试验时，常常会发现不同的事件出现的可能性是不一样的.例如，“掷骰子出奇数点”的可能性就大于“掷骰子出幺点”的可能性.既然各事件出现的可能性不同，我们就设想用一个数字P(A)表示事件A出现的可能性，P(A)就是事件A的概率(probability).但如何从数量上规定P(A)呢？我们先从与概率密切相关而又容易了解的频率概念出发，以便得出概率的定义. 1.2.1频率 E为任一随机试验，A为E中的一个事件.在n次重复的试验中A出现的次数(频数)记为fn(A)，称比值 为事件A在n次试验中出现的频率(frequency).例如掷1000次硬币中得到517次正面，那么“掷硬币出现正面”这一事件A的频率为0.517，频数为517. 一般地，如A出现的可能性越大，频率Fn(A)也越大；反之，如Fn(A)越大，可以设想A出现的可能性也越大.因此，频率与概率间有密切的关系.实际上，我们后面将给出：在相当广泛的条件下，当时，在一定意义下Fn(A)趋于A的概率P(A).因此，当试验次数n充分大时可以取频率作为概率的近似值.在很多实际问题中，事件的概率就是用频率值近似代替的. 由于频率概念比较简单，容易掌握，我们可以根据频率的性质去推想概率的性质.根据频率的定义，读者容易推出频率有如下性质: (i)对任意事件； (ii) (iii)如果k个事件;Ak互不相容，即，则有 其中n为任意正整数. 1.2.2概率的定义与性质 根据上面频率的性质我们给出关于事件A出现的可能性的度量概率P(A)的定义. 定义1.2.1设随机试验E的样本空间为，A是其中的任意一个事件，与A对应的一个实数P(A)如果 (i)P(A)>0;(1.2.1) (ii)(1.2.2) (iii)若互不相容，即;则有 (1.2.3) 成立，就称P(A)为事件A的概率. 这一定义是Kolmogorov在1933年给出的.在他之前，主观概率学派的代表Keynes(1921)和客观概率学派的代表von　Mises(1928)也给出了定义概率的方法.Keynes把诸如“明天要下雨”“木星上有生命”这些不能重复试验的命题看作是事件，而把人们的经验对这些事件的可信程度当作其概率.这种定义方法与随机试验并无直接关系，通常称为主观概率(subjective　probability).vonMises定义一个事件的概率为该事件出现的频率的极限： 但按照严格的公理化数学的要求必须把这一极限存在作为公理，这使得问题复杂化了.此外，这一定义使概率依赖于不断的试验，不符合事件概率的客观性.实际上事件的概率是客观存在的，与长度、面积、体积一样.我们定义物体的长度时不是去度量它才会有长度，不管你是否去度量它，也不管你怎样去度量它，物体的长度是客观存在的.正是这样一些原因，von　Mises的客观概率定义也未被人们广泛接受. Kolmogorov把事件的概率当作是与“长度”“面积”一样的一种度量，着眼于规定事件及其概率的*基本的关系与性质，并由此给出概率的定义.定义中(1.2.3)式称为可数可加性(countable　additivity)，这是作为度量的*本质的特征. 由概率的定义可推出概率的一些其他有用性质. 定理1.2.1设P为概率，则 (i) (ii)若互不相容，即，则有(可加性) (1.2.4) (iii)对任意二事件A，B有 (1.2.5) 证(i)由(1.2.3)式有 再由(1.2.1)式，可推出 (ii) 由(1.2.3)式及P(?)=0可推出 (iii)因故 (1.2.6) 但故 (1.2.7) 由(1.2.6)式，(1.2.7)式可推出(1.2.5)式成立. 推论1.2.1(i)对任意m个事件An，有 (1.2.8) (ii)如二事件，则 (1.2.9) (iii)对任意事件A，有 (1.2.10)