噪声与振动控制技术基础(第三版)

基础篇 第1章 振动基础概述 声音的本质就是气体、液体、固体介质中的质点振动，声音的产生和传播都离不开介质的力学振动行为。一阵微风吹来，人们就会听到树叶运动而发出“沙沙”的响声。音乐家轻轻拨动琴弦，提琴就会发出美妙的曲调。医生将听筒的一端置于病人的心脏部位，就能从另一端听到心脏“嘭嘭”跳动的声音。这些都是振动产生和传播声音的例子。声有有利的一面，也有有害的一面。人们把不和谐的、令人反感的声音称为噪声。要抑制噪声的发生和传播，就必须了解噪声产生的原因和传播的规律，也就必须具备振动基本知识。 现实生活中，振动现象是无处不在的。世界上所有的物质都处在运动中，运动的方式千姿百态，而振动就是物体运动的一种十分重要和特殊的形式。物体在振动过程中，某些物理量（如位移、速度、加速度、电流、压力等）时大时小，发生周期性变化，如钟摆的周期性摆动；汽轮机主轴和叶轮在周期旋转过程中由于微小的偏心而产生的振动；汽车在凹凸不平的路面上行驶所产生的振动；高层建筑在风力作用下发生摇摆振动等。 振动学的研究范围十分广泛，本章主要介绍与声学问题联系比较密切的一些力学振动基础知识。1.1节主要介绍质点振动学，1.2节介绍一些典型弹性体的振动。 1.1 质点振动学 所谓质点振动系统，就是假定：构成振动系统的物体，不论几何尺寸大小如何，都可看作是一个物理量集中的系统。质点振动系统又称为集中参数系统。质点振动系统的*基本构成是质量块和弹簧。在质点振动系统中，质量块的质量可认为是集中在一点上，整个弹簧的刚度是均匀的，就是说弹性也可认为是集中在一点上，由此构成的运动系统的运动状态是均匀的。 任何物体都具有一定的几何尺寸，但是在一定的假设条件下，可以用质点振动系统来描述。判断实际振动系统是否可以简化为质点振动系统模型，就要看物体的几何尺寸相比物体中传播的振动波的波长的相对值。如果物体的几何尺度大于振动波的波长，这就意味着在某一个瞬时，物体上各个位置的振动状态是不一样的，这种情况下振动系统不能用质点振动系统来描述。如果物体的几何尺寸与振动波的波长相比小得多，那么振动物体上各个位置的振动状态就可以看成是近似均匀的，这种情况下振动系统就可以近似为质点振动系统。需要特别强调的是：判断实际物体的振动能否作为质点振动系统来近似，并不取决于它的绝对几何尺寸大小，而要看它的几何尺寸与振动波波长的相对关系。 在质点振动系统的假设下，实际振动物体的振动分析就变得较为简单，而研究获得的振动规律也比较清晰和直观。 1.1.1 单自由度系统的自由振动 一个振动系统的自由度是指在振动过程中任何瞬时都能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立坐标的数目。一个振动系统究竟有多少个自由度，不仅取决于系统本身的结构特性，还要根据所研究的振动问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况等来确定。如图1.1所示的弹簧-质量块系统，质量块作为一个质点在空间有三个自由度，但是如果它只是在垂直方向作上下振动，则在振动过程中任何瞬时，系统的几何位置只需要一个独立坐标x就可以完全确定，这时可视其为单自由度振动系统。 *简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量块的系统。把质量块的质量记作M，把弹簧的刚度记作K。在没有外力扰动的情况下，质量块受到的重力与弹簧的弹力相平衡，系统处于相对静止状态。将静止状态下质量块的位置称为平衡位置。以平衡位置为坐标原点，假设有一个外力突然在x方向推动或拉动质量块，使得弹簧产生拉伸或压缩，随即释放，此后质量块在弹簧弹力的作用下，将在平衡位置附近作往复运动，也就是发生了振动。如果外力仅在初始时刻使物体产生一个初位置或初速度，而在振动过程中并无外力作用，那么这种情况下质点振动系统的振动就称为自由振动。 对图1.1所示的单自由度自由振动系统进行受力分析，如图1.2所示。当质量块离开平衡位置，沿x轴正方向产生位移时，弹簧也相应伸长，这时质点上就受到了弹簧的作用力。这里假设质点离开平衡位置的位移很小，以致弹簧的伸长或收缩没有超出弹性变形的限度，按照胡克定律，在弹性范围内，弹簧力的大小与变形量成正比，称为线性恢复力，并可表示为（1.1.1） 图1.1弹簧-质量块系统 图1.2振子受力分析 式中，比例系数K就是弹簧的刚度系数，简称刚度，它等于弹簧发生单位变形量所需要的力。有时也用其倒数来表示，刚度系数的倒数称为顺性系数，或简称力顺，它等于单位力产生的变形量。线性恢复力的作用就是使离开平衡位置的质点趋于恢复到平衡位置，因此线性恢复力的方向与质点位移的方向刚好相反。 按照牛顿第二运动定律，质点在线性恢复力的作用下将产生加速度，有（1.1.2）式（1.1.2）经过整理可以写成如下形式（1.1.3） 式中，是引入的一个参量，称为振动圆频率。式（1.1.3）就是质点的自由振动方程。通过求解自由振动方程，就可以获得自由振动的一般规律。式（1.1.3）是对时间t的齐次二阶常微分方程，其解的一般形式应是两个简谐函数的线性叠加（1.1.4）式中，C、D为两个待定常数，由运动的初始条件确定。式（1.1.4）也可写成另一种形式（1.1.5）式中，A为位移振幅；φ为振动起始时刻的初相位。 振动问题也可以通过复数解来表示，采用复数解可以简化数学处理，式（1.1.3）的复数解为（1.1.6）式中，系数A由初始条件确定。当然采用复数解也有一些缺点，因为复数解不能直接地描述物理问题的直观情况，在必要时还需对求解结果取实部（或虚部）。 不管采用哪一种解的形式，获得振动位移之后，由振动位移可以方便地获得振动速度v和振动加速度a。 运动自t=0时刻开始，经过t=T时间又恢复到原来状态，T就是振动的周期。从式（1.1.5）可以得到，T=2π，即振动的周期为（1.1.7） 振动分析中人们通常采用频率的概念，频率f与周期T互为倒数，频率表示每秒振动的次数，频率的单位是赫兹，记作Hz。频率f与圆频率满足如下关系（1.1.8） 对于上述的单自由度自由振动系统，频率f反映了系统振动的固有特性，因此称为固有频率，固有频率一般以符号0f表示。对于上述分析的自由振动系统，可以写出其固有频率为（1.1.9） 由式（1.1.9）可见： （1）当质点作自由振动时，其振动频率仅与系统的固有参量有关，而与振动的初始条件无关。自由振动系统的这一特性，在日常生活中比较常见。例如，键盘类乐器标定后，按动某一个琴键，不管按动的轻重如何，琴键所发出声音的频率是一定的，按得轻或按得重仅影响声音的强弱。 （2）对于质点振动系统，质量越大，则系统的固有频率越低；刚度越大，则系统的固有频率越高。这一规律在振动与噪声控制中具有重要意义：通过改变系统的质量或刚度，就可以改变系统的固有频率，使之落于一定的频带范围之外，从而保证在人们所关心的频带范围内具有较小的振动或噪声。 1.1.2 有阻尼的自由振动 在前面所述的自由振动中并未考虑运动的阻力，由于振动过程中机械能守恒，系统保持持久的等幅振动。但实际系统振动时不可避免地存在阻力，因而在一定时间内振动逐渐衰减直至停止。阻力有多种来源，如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质的阻力、有润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的黏弹性而产生的内部阻力等。在振动中这些阻力统称为阻尼。 阻尼的存在将消耗振动系统中的能量，消耗的能量转变为热能和声能传播出去。有阻尼的自由振动也称为衰减振动。 不同的阻尼具有不同的性质。两个平滑接触面之间的摩擦力F与两个面之间的垂直压力N成正比，即（1.1.10）