微积分和数学分析引论 第一卷 第一分册,第二分册

**章 引言 　　自古以来，关于连续地变化、生长和运动的直观概念，一直在向科学的见解挑战。但是，直到17世纪，当现代科学同微分学和积分学（简称为微积分）以及数学分析密切相关地产生并迅速发展起来的时候，才开辟了理解连续变化的道路。 　　微积分的基本概念是导数和积分：导数是对于变化速率的一种度量，积分是对于连续变化过程总效果的度量，正确理解这些概念以及由此产生的大量丰富成果，有赖于对极限概念和函数概念的认识，而极限和函数的概念又基于对数的连续统的了解，只有越来越深刻地洞察微积分的实质，我们才能逐渐地赏识其威力和价值，在引言这一章里，我们将阐明数、函数和极限的概念。首先作一简单而直观的介绍，然后再仔细论证。 　　1.1 实数连续统 　　正整数或自然数1，2，3， 这些抽象的符号，是用来表示在离散元素的总体或集合中具有“多少个”对象的。 　　这些符号完全不涉及所计数的对象的具体性质，不管它们是人，是原子，是房子，还是别的什么。 　　自然数是计算一个总体或“集合”中元素的一种合适L具。但是，为了达到一个同等重要的目的，如度量曲线的长度、物体的体积或重量等这样一些量，自然数便不够用了。我们不能直接用自然数来回答“是多少？”这一类的问題，由于极其需要用我们称之为数的事物来表示各种量的度量，我们就不得不将数的概念加以扩充，以便能够描述度量的连续变化，这种扩充了的数系称为数的连续统或“实数”系。（这是一个未加说明但一般都认可的名称。）数的概念向连续统概念的扩充是如此自然而令人信服，以致所有早期的大数学家和科学家都毫无疑议地予以采用，直到19世纪，数学家们才感到必须为实数系寻求一个比较可靠的逻辑基础，随后产生的对上述概念的正确表述，反过来又导致数学的进步，我们将首先从不难理解的直观描述入手，然后给出实数系的比较深入的分析。 　　a.自然数系及其扩充。计数和度量 　　自然数和有理数。对于我们来说，“自然”数序列1，2，3， 认为是已知的，我们不需要从哲学的观点来讨论这些抽象的事物——数——究竟属于怎样的范畴，对于数学工作者，以及对于任何同数打交道的人来说，重要的只是要知道一些规则或定律，根据这些规则或定律可将一些自然数组合起来而得到另一些自然数，这些定律构成在十进位制中那些熟知的关于数相加和相乘的法则的基础；它们包括交换律：a+b=b+a和ab=ba，结合律：a+（b+c）=（a+b）+c和a（bc）=（ab）c，分配律：a（b+c）=ab+ac，相消律：如果a+c=b+c，则可推出a=b。等等。 　　逆运算——减法和除法——在自然数集合中并不总是可能的；从1减去2或者用2来除l所得的结果不能仍属于自然数集合，为了使这些运算能够不受限制地进行，我们不得不发明数0，“负”整数和分数来扩充数的概念，所有这些数的全体，称为有理数系或有理数集合；有理数全都可以由1经过“有理运算”，即加法、减法、乘法和除法而得到。 　　有理数总可以写为p/q的形式，这里p和g都是整数，并且q≠0。我们还能使这种表示是唯一的，只须要求q是正的，而p和q没有大于1的公因子。 　　在有理数域内，一切有理运算——加法、乘法、减法和除法（用零作除数除外）——都能够实行，而且得到的仍然是有理数，正如我们从初等算术所知，有理数运算所服从的定律同自然数的运算是一样的：因此，有理数是以完全直接的方式扩充了正整数系。 　　有理数的图形表示。有理数通常可用直线L——数轴——上的点形象地表示出来，将L上的任意一点取作原点或点0，将另外任意一点取作1，这时，我们采用这两点之间的距离作为度量的尺度或单位，并且将从0到1的方向定义为“正方向”，并称这样规定了方向的直线为有向直线，习惯上，画数轴l时应使得点1在点0的右边（图1'1）。 　　图1.1 数轴 　　L上任何一点P的位置由两个因素——由原点0到P的距离和由原点0到P的方向（指向0的右边还是左边）——完全确定。L上表示正有理数x的点P是在0的右边与0的距离为x个单位之处。负有理数x，则由0的左边距离0为-x个单位的点来表示，在上述两种情况下，从0到表示x的点之间的距离均称为x的绝对值，记为|x|，于是我们有 　　我们注意，|x|决不会是负数，并且仅当x=0时才等于零。 　　由初等几何我们想到，用直尺和圆规作图，可将单位长度分割为任意个相等的部分。由此可见，任何用有理数表示的长度都能画出，所以，表示一个有理数x的点能用纯几何方法找到。 　　按这种方式，通过L上的点一有理点，我们得到有理数的一种几何表示。同对于点0和点1的表示法相一致，我们可采用同样的符号x既表示有理数，又表示它在L上所对应的点。 　　两个有理数的关系式xy，则距离是x-y个单位，无论哪种情况，L上的两个有理点x，y之间的距离均为|g-x|个单位，并且仍然是有理数。 　　L上端点为a，b的线段，这里a　　对应于整数0，±l，±2， 的各点，将数轴分割为一系列单位长度的区间。L上的每一个点，或者是这样分割的区间之一的端点，或者是其内部的点。如果再把每一个区间分割为q个相等的部分，我们就把L分割成一系列长度为1/q的区间，区间的端点为p/q的有理点，于是，L上的每一点P，或者是形式为p/q的有理点，或者处于两个相继的有理点p/q和p+1/q之间（见图1.2）。因为相继的两个分点距离为1/q个单位，所以，我们能够找到一个有理点p/q，这个有理点同点P的距离不超过1/q个单位，我们只要将q取成足够大的正整数，则能使数1/q想要多么小就可多么小。例如，取g= 10n（这里n为任一自然数），我们就能求得一个“十进小数”x=p/10n，同P的距离小于1/10n，至此，虽然我们并未断言L上的每一个点都是有理点，但是至少我们已看到，能够求得一些有理点，任意地接近L上的任何一点P。 　　图1.2 　　稠密性 　　L上的给定点P能够用有理点来任意逼近这一事实，可以用一句话来表达：有理点在数轴上是稠密的，显然，甚至一些较小的有理数的集合也是稠密的，例如，所有形如x= p/10n的点，其中n为自然数，p为整数。 　　稠密性表明，在任何两个不同的有理点a和b之间，存在着另外的无穷多个有理点，特别是，a和b之间的中点，c=a+b/2，即数a和数b之间的算术平均值，仍是有理点。再取a和c的中点，b和c的中点，并且按这种方式继续进行下去，我们能够在a和b之间求得任意多个有理点。 　　我们可以用有理点来接近L上任意点P的位置，并且能够达到任何精确度，因此，初看起来，似乎是只要引入有理数，用数来确定点P的位置这个任务便已完成，在物理的现实中，各种量毕竟不能绝对精确地给出或求得，而总会带有某种程度的不确定性；所以，也就可以认为各种量可用有理数来度量。 　　不可通约量，虽然有理数是稠密的，但是，作为用数来建立度量的理论基础，有理数还是不够的，两个量，如果其比是有理数，则称为可通约的，因为可将它们表示为某同一单位的整数倍。早在公元前五或六世纪，希腊的数学家和哲学家已经有了惊人的、影响深远的发现：存在着一些量，这些量同给定的单位是不可通约的，特别是，存在着一些线段，这些线段不是一个给定单位线段的有理数倍。 　　不难给出与单位长度是不可通约的线段长度的一个例子：各边为单位长度的正方形之对角线l。因为，根据毕达哥拉斯（Pythago-ras）定理，这个长度l的平方必须等于2。所以，如果l是有理数，因而等于p/q，这里p和q均为正整数，我们将有p2= 2q2。我们可以约定p和g没有公因子，因为这样的公因子在开始时就可以约掉，根据上述方程，p2是偶数；因此p本身也必定是偶数，譬如说p= 2p′。用2p′来代替p，我们得到4p′2= 2q2，或者q2=2p′2；因而，q2是偶数，于是q也是偶数。这就表明p和g二者具有公因子2。然而，这同我们所作的p和q没有公因子的约定相矛盾，这一矛盾是由于假设对角线长能够表示为分数p/q引起的，所以这一假设是错误的。 　　这一用反证法推导的例子，表明符号不能对应于任何有理数，另一个例子是π——圆的周长与其直径之比，证明π不是有理数要复杂得多，并且直到近代才做到[兰伯特（Lambert），1761]。不难找到其他许多不可通约的量（见问题1，第117页）；事实上，不可通约的量在某种意义上远比可通约的量更为普遍（见第109页）。 　　无理数 　　因为有理数系对于几何学来说是不够的，所以必须创造新的数作为不可通约量的度量：这些新的数称为“无理数”，古希腊人并不注重抽象的数的概念，而是把诸如线段这样一些几何实体看作为基本元素，他们用纯几何的方法发展出不但用来运算和处理可通约（有理）量，而且用来运算和处理不可通约量的逻辑体系，由毕达哥拉斯引入而由欧多克斯（Eudoxus）大大推进了的这一重要成就，在欧几里得（Euclid）著名的《几何学原本》中有详细的叙述，现