标准数独技巧说明全集

Section 7　数对 当某两个数字只能填入某两格，或者某两格内只能填入某两个数字，我们称这种情况为数对，前者称为隐性数对，后者称为显性数对。任何一个数对在形成时，都会同时兼具显性和隐性的特征。 隐性数对形成后，这两格会被这两个数字占据，无法填入其余数字，进而形成占位，往往形成相关区域内其余数字的排除解；显性数对形成后，这个区域里其余格无法填入这两个数字，形成对于区域内其余格候选数的删减，形成区域内其余单元格的唯余解。 例图中展示了隐性数对的形成［图7-1（a）］和显性数对的删减域［图7-1（b）］。 （a）隐性数对 （b）显性数对 图7-1 数对 ◎宫内显性数对形成唯余解（同行列二余） 图7-2 宫内显性数对案例1 G4、G6形成显性数对，得到唯余解G1=6。这种情况是一个非常经典的数对情况，即一个宫内仅有两格未知，则这两格中必定有显性数对（同时有隐性数对）。若这样的两格位于同一行列之中，在该行列其余格内可能会有部分单元格，经过数对删减后，形成唯余解。 图7-3 解出终盘 ◎宫内显性数对形成唯余解（互补性） 图7-4 宫内显性数对案例2 本题中G2、I3为1、5的显性数对，得唯余解G3=7。这样的结构难以观察，我们也可以观察到H1、H2为2、3的隐性数对，占位后得到宫内排除解G3=7。 实际上，显性和隐性的数对/组是互补的，有一个隐性的数对/组，就有一个显性的数对/组与之互补，反之亦然。本题中H1、H2的隐性数对，就与G2、G3、I3的显性数组互补。 图7-5 解出终盘 ◎宫内显性数对形成行列排除解 图7-6 宫内显性数对案例3 本题的难点在前期，多数技巧在题目前期使用时，观察难度往往较高。本题中I4、I5构成了1、8的显性数对。观察时，可优先观察到I3、I9的2、3删减了I4、I5、I6的2和3，进而可先大致确定此三格的候选数（目前均为1、4、6、8）。 通过第二宫和第五宫的4、6对于I4、I5进行删减，得到数对，观察时还可在G6、H6、I6中标注4、6，表示此三格为4、6的区块，从而能更有效地对于这一数对进行观察。这一数对可删减第九行其余格的1、8，得到第七列的8在G7。 图7-7 解出终盘 ◎行列显性数对形成唯余解（双数对） 图7-8 行列显性数对案列1 在一部分题目中，有一种特殊情况：一个行/列内仅缺少四个数字A、B、C、D，缺少的数字分布在两个宫内，每个宫内两格。 此时，如果在某一宫内其余格里同时出现了A、B，那么这个宫内这一行/列缺少的两格必为C、D，构成C、D的显性数对；另外两个空格则必为A、B的隐性数对了。 本题中，**列缺少6、7、8、9四个数字，其中第七宫的两格不能为8、9，因此H1和I1是6、7的显性数对，D1、E1是8、9的显性数对。*终能得到唯余解H3=4。 同时观察到两个数对，在实际解题之中能大幅提高解题的速度。 图7-9 解出终盘 ◎行列显性数对形成行列显性数对，再形成唯余解（双数对） 图7-10 行列显性数对案例2 本题也是双数对的情况，但本题必须利用到第二个数对。可先观察得知E7、E8为1、9的显性数对，之后E2、E3为4、5的显性数对，可删减F1，得唯余解F1=1。 如果利用数对的互补性质来观察本题，可观察到E2、E3为第五行4、5的行列隐性数对，进而利用“成型的数对同时具备显性和隐性作用”这一性质，可利用E2、E3的显性数对特征，删减F1的5。 实际解题过程中，解题方法不唯一，也可用第五宫或第五行数字5的区块，在F1处形成唯余解。 图7-11 解出终盘 ◎行列显性数对形成唯余解（与区块的关联） 图7-12 行列显性数对案例3 本题的显性数对较为直观，通过观察第二列即可知A2、B2为7、9数对，进而得到唯余解B3=5。此题也可仅用区块的视角进行观察，A2、B2必然含有数字7，为行列区块，对宫内进行删减，得到唯余解B3=5。 实际上，数对本身就是两个区块的叠加体，同时具备两个区块的功能。本题中，A2、B2既为7的区块，也为9的区块，可以删减同一宫内其余单元格的7和9。 图7-13 解出终盘 ◎行列显性数对形成行列排除解 图7-14 行列显性数对案例4 本题中，F5、F7构成5、6的显性数对，删减F2的6，得第二列的6在D2。行列显性数对的形成较难观察。此题解题时，在观察到数对之后，需要观察第六行其余单元格删减5、6之后是否会出现唯余，以及相关行列中数字5、6的位置是否能够确定。 图7-15 解出终盘 ◎行列显性数对形成宫内显性数对，再形成唯余解 图7-16 行列显性数对案例5 有时显性数对删减后，能形成其余的数对。本题中F9、G9为6、8的显性数对，删减I9的8，I9=3、4，与H7组成3、4的显性数对，同一宫内有唯余解I7=5。 图7-17 解出终盘 ◎行列显性数对形成行列显性数对，再形成唯余解 图7-18 行列显性数对案例6 本题的结构不难，即以C2、I2构成4、8的显性数对，删减E2的4、8，得E2=2、7，与E7构成显性数对，再删减E4的7，得唯余解E4=4。 由于E2初始拥有四个候选数，所以有的解题者在观察时会忽略此格。解题过程中，一旦发现了一个数对，要马上观察其所能影响的部分。本题中**个数对处于第二列，可以通过观察这一列的其他单元格，先观察删减4、8后是否有唯余解，再观察是否有排除解。如果并无结果，可通过这两格的候选数与其所在的行列宫其余单元格进行对比，观察是否有数对等结构的出现。 图7-19 解出终盘 ◎行列显性数对形成宫内区块，再形成唯余解 图7-20 行列显性数对案例7 由行列显性数对删减后，有时会形成排除解，有时会形成区块。这样的情况都较为特殊和少见，并且不容易被观察到。 本题中，B1、D1形成5、6数对，删减A1的5、6，结合排除得到**宫的数字5的区块，从这个区块可以推出唯余解B4=7。 图7-21 解出终盘 ◎两组行列显性数对在同一格处形成唯余解 图7-22 两组行列显性数对案例 本题中，E1、E8的3、6显性数对，与B3、F3的8、9显性数对彼此独立，但在同一格处交汇，在此处形成了唯余解E3=2。 图7-23 解出终盘 ◎两组行列显性数对在同一行列形成行列排除解 图7-24 两组行列显性数对案例 G3、G5为3、5的显性数对，H5、H8为5、6的显性数对。两个数对可以删减自身所在行列其余格的数字5，删减后G1、H1均不能是5，故而**列有行列排除解B1=5。 图7-25 解出终盘 ◎两组行列显性数对形成组合区块（特殊情况） 图7-26 两组行列显性数对案例3 本题的观察思路较多，如可通过H1、H3的6、8显性数对，得唯余解G2=7；也可通过H3、D3的6、8显性数对，得唯余解B3=4。 考虑两个数对中数字8的分布，在B1、B3中必有一个8，H1、H3中必有一个8，两个8位于两列中，符合组合区块的定义，可直接用这四格形成数字8的组合区块，进而得唯余解D3=6，或宫内排除解D2=8。 图7-27 解出终盘 ◎宫内隐性数对形成行列排除解（经典宫内数对结构） 图7-28 宫内隐性数对案例1 下图所示为宫内隐性数对的经典结构之一，D2的1和D7的2对于第五宫进行排除，得到F4、F6为1、2的宫内隐性数对。 图7-29 解出终盘 这个数对的两格在同一行之中，占位后结合排除可得第六行的行列排除解F7=9。但此题还有多种观察视角，一般得到F4、F6的组合后，会去观察第五宫余下部分有无排除或唯余解，以及D3、D7这两格，因为[D123]+[D789]=[1~9][D456]=[E456+F456]，所以仅比对数字组合，就可以得到D3、D7的组合。在观察无果之后，再用二余法观察第六行，可得F3=7，F7=9。 ◎宫内隐性数对形成宫内排除解 图7-30 宫内隐性数对案例2 宫内隐性数对分为多种情况，*常见的一种是数对涉及的两格位于同一行/列之中，本题的A9和C9形成了3、5的隐性数对。 观察这样的数对时，可以利用区块的视角进行观察，首先观察到第三宫的3位于A9或C9中，其次第三宫的5也必定位于这两格内。两个单元格一样、数字不同的双格区块（指仅有两格的区块）碰撞后，即会形成隐性数对。 隐性数对形成后，会占据这两个单元格，影响其余数字的排除。形成隐性数对后，应当立即观察数对所在的宫和行列，本题中数对占据A9后，可得第三宫的宫内排除解A8=2（需要第二宫的区块进行辅助，或者直接观察**行，得到**行的行列排除解）。 图7-31 解出终盘 ◎宫内隐性数对形成行列排除解（经典十字） 图7-32 宫内隐性数对案例3 前文区块法一节提到，有时某一宫内四角有已知数，此时宫内容易形成区块。实际上这种情况下宫内还容易形成隐性数对，由于题目的对称性，这种情况经常在第五宫内出现。 本题中数字2、7对第五宫排除，形成隐性数对。这种空白十字的情况下，一般在十字的左右或者上下两侧有隐性数对。本题中数对占位后得到第六列的行列排除解B6=3，但一般这种空白十字的情况，形成隐性数对后，往往也会利用到同时形成的中间三格的数组（数组技巧会在下文提到）。 图7-33 解出终盘 ◎宫内隐性数对形成宫内排除解（经典反十字） 图7-34 宫内隐性数对案例4 除经典十字结构之外，宫内隐性数对有时还会出现一种经典反十字情况。有时宫内四角均为空白，而中央部分有若干已知数，此时较容易形成位于宫内两角（多在一行或一列之中）的隐性数对。 第六行和第五列的4、9对于本题第五宫进行排除，4、9只能填在D4和D6之中，形成隐性数对。占位后得到第五宫的宫内排除解F6=3。 图7-35 解出终盘 ◎宫内隐性数对形成行列排除解（隐蔽） 图7-36 宫内隐性数对案例5 有时，宫内隐性数对会位于非同一行、非同一列，例如本题。通过观察第八列、第五行的已知数可知，第六宫的数字5、8只能存在于D7、F9，这样的隐性数对较为隐蔽，且不容易使用区块碰撞的视角进行观察。 数对占位后，第七列形成行列排除解C7=7。 图7-37 解出终盘 ◎宫内隐性数对由宫内区块形成，再形成行列排除解 图7-38 宫内隐性数对案例6 宫内隐性数对有时也会通过区块形成，本题中，第九宫数字2的区块影响第三宫，得到第三宫B7、C7为2、5的宫内隐性数对。也可更换视角，D8、F8为2、4的显性数对，则第七列的2、5也都只能在B7、C7，形成行列隐性数对。 这个数对形成后，可占据B7格，影响第二行的排除，得第二行的排除解B6=4。观察时也可通过宫内隐性数对占位后，数字4在第三宫的区块影响第二宫，得到4在第二宫的宫内排除解。 图7-39 解出终盘 ◎宫内隐性数对由宫内显性数对形成，再形成宫内排除解 图7-40 宫内隐性数对案例7 有时宫内隐性数对的形成较为隐蔽，不是由排除直接得到，而可能经过区块、其余数对等步骤。本题即为一例，B8、B9形成4、6的显性数对，删减B3的4之后，在**宫才形成了A3、C3的4、9隐性数对。数对占位后，有宫内排除解C2=2。 图7-41 解出终盘 ◎行列隐性数对形成宫内排除解 图7-42 行列隐性数对案例1 第三列中，数字7、9都不在H3、I3，也都不在B3、D3，因此在A3和F3构成行列隐性数对。占据A3的位置后，**宫有宫内排除解A1=4。 图7-43 解出终盘 ◎行列隐性数对形成行列排除解 在一些有一定难度的题目之中，经常出现图7-44的结构，即已知数A、B（本题中为6和7）在同一宫内，在该宫涉及的某一行列中，A、B都未确定，必定在该宫范围之外的六个单元格（本题为A4~F4）之中。有时结合其余线索，可确定这两个数字在这一行列内的位置。 图7-44 行列隐性数对案例2 本题中，数字6、7都不在H4、I4，也都不能填入C4，因而只能在B4和E4之中，形成行列隐性数对。这一数对占位后，可在同一列内得到行列排除解H4=3，还可在第五宫中得到宫内排除解E6=3。 图7-45 解出终盘 ◎行列隐性数对形成行列排除解（隐蔽） 图7-46 行列隐性数对案例3 本题中，第五行的1、6隐性数对较为隐蔽，解题时十字型结构较多，也容易形成误导。数对占位后，易得行列排除解E1=8。 图7-47 解出终盘 ◎行列隐性数对形成行列排除解（复杂） 图7-48 行列隐性数对案例4 下图中，第八行的6、8隐性数对，与上文提到的结构有所区别，是通过多个已知数进行行列排除所形成的，相对较为复杂。占位后，在同一行中有行列排除解H5=7。 图7-49 解出终盘 ◎行列隐性数对形成行列排除解 图7-50 行列隐性数对案例5 本题中，第四行中D3、D5构成了1、6隐性数对，占据两个单元格后，在这一行内没有形成新的行列排除解，但在D3格所在的列内形成了行列排除解B3=2。 图7-51 解出终盘 ◎行列隐性数对+宫内区块，形成行列排除解 图7-52 行列隐性数对案例6 本题中，**列形成3、7的行列隐性数对后，并没有直接的排除结果，而是需要通过**宫的数字5的区块，对于第七行进行排除，得到行列排除解G8=5。这个区块排除较难，但可以通过转换视角进行观察。 数对形成后，在第七宫有三个已知数和一个3、7的双值格处于四角的位置，很接近经典十字的结构。此时若是通过3、7之外的其余数字对这个宫进行排除，也很容易形成宫内区块。理解此层之后，即可通过**宫的5区块形成第七宫的5区块，结合I4的5，得到第九宫的宫内排除解G8=5。 图7-53 解出终盘 ◎行列隐性数对由区块形成，再形成宫内排除解 图7-54 行列隐性数对案例6 有时，隐性数对并非由已知的数字直接排除形成，可能经过了区块等步骤。这些步骤使这样的隐性数对更加难以观察。 本题中，行列隐性数对由经典模式形成，但其中数字3在第八宫的区块对于行列进行了排除，所以数对的隐蔽性更高。D4、D8的2、3数对占位之后，第六宫有宫内排除解F8=7。 图7-55 解出终盘 ◎行列隐性数对+宫内隐性数对，形成行列排除解 图7-56 行列隐性数对案例7 解题过程中，有时会出现两个或多个数对并联的情况。本题中需要用到第三行的7、8隐性数对，和第二宫的3、5隐性数对，两个数对彼此独立，但同时占据了第三行的部分单元格。占位后，第三行有行列排除解C8=6。 图7-57 解出终盘 ◎多个数对先串后并，形成组合区块，再形成排除解 图7-58 多个数对先串后并案例 本题解题过程虽然步骤较多，但整体非常流畅。首先，第三列仅缺少两个数字，通过二余法易得G3、I3为4、7数对。之后可观察缺少四个数字，且空白为两组二格分布的第八行，易有H1、H2为5、9数对，H5、H6为4、7数对。 同时，观察类似结构的**行，可得A5、A6为4、6数对。此时，由于A5、A6与H5、H6均位于第五、第六列，且都有数字4，因此构成4的组合区块，易得第五宫的宫内排除解E4=4。 图7-59 解出终盘 ◎挑战一下 （E1-E10）