概率论与数理统计(第3版河南省十四五普通高等教育规划教材)

**章概率论基础 　　客观世界中存在着两类现象，一类叫做必然现象，一类叫做随机现象。我们把在一定条件下必然发生的现象称为必然现象。例如，在标准大气压下，100°C的纯水必然沸腾；在地面向上抛出的物体必然会下落；异性电荷相吸，同性电荷相斥等等。我们把在一定条件下并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。自然界和社会生活中随机现象广泛存在。例如，抛硬币朝上一面可能是正面或反面；一天内进入某超市的人数有多有少；测量物体长度的误差有大有小；某地区一年的降雨量有多有少；某日股市的涨跌等等。 　　尽管随机现象的结果不能确定，但并非无规律可寻。人们通过长期的反复观察或实践，逐渐发现所谓结果的不确定性（或称随机性只是对一次或少数几次观察而言，当相同条件下对随机现象进行大量重复观察时，会发现所得的结果却呈现出某种规律。这种在对随机现象进行大量重复观察时发现的规律性称为随机现象的统计规律性。例如，多次重复抛掷一枚硬币，观察发现正面朝上和反面朝上的次数大致各占一半，而且大体上抛掷次数越多，越接近这一比例；新生儿的性别有男有女，但是大量的调査发现，新生儿中男性和女性大致各占一半；某地区一年的降雨量是随机的、不确定的，但是连续考察若干年，发现该地区的年降雨量会在一个较小的范围内变化，呈现出一定的规律。 　　掌握了随机现象的统计规律性，人们可以更好地生产、生活或者开展经营活动等等。比如，农民掌握了某地区降雨量的规律，可以计划农作物的灌溉量，从而提高粮食产量；商场掌握了客流量的规律，就可以很好地安排营销活动，从而提高经营效益。 　　概率论是从数量化的角度研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。20世纪以来，概率论广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域。 　　本章主要介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、事件的独立性等概率论中*基本、*重要的概念和概率的计算方法。 　　【信任度下降问题】 　　伊索寓言《牧童与稂》讲述了这样一个故事：一个小孩每天去山上放羊，山里常有狼出没。有一天，他在山上喊：“狼来了！狼来了！”山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼并没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么叫也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了。 　　试定量分析此寓言中村民对这小孩的信任度是如何下降的？ 　　1.1随机试验与样本空间 　　1.1.1随机试验 　　客观世界中随机现象普遍存在。为了研究随机现象的统计规律性，我们需要进行大量试验。 　　这里讲到的试验是一个含义广泛的术语。它不仅包括各种科学试验，也包括对客观事物所进行的“调査”“观察”等。 　　概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 　　（1）试验可以在相同条件下重复进行； 　　（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 　　（3）进行一次试验之前不能确定到底哪一个结果会出现。 　　注意，这里所说的相同条件是相对而言的，应用中，如果某个条件的变化对试验结果的影响是微乎其微的，我们就可以认为该条件没有发生变化。 　　随机试验通常用大写字母E表示。 　　例1.1下面是一些随机试验的例子。 　　E1：抛一枚硬币观察哪一面朝上； 　　E2：抛一枚骰子观察朝上一面的点数； 　　E3：观测某品牌电视机的寿命； 　　E4：记录110—天接到的报警次数； 　　E5：在圆心为原点的单位圆内任取一点。 　　随机试验以后简称试验。 　　1.1.2样本空间 　　定义1.1随机试验的一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点。 　　研究随机现象首先要了解它的样本空间。 　　例1.2对例1.1中的随机试验，写出它们对应的样本空间。我们用认表示Ei的样本空间，i=1，2， ，5。 　　抛一枚硬币观察哪一面朝上： 　　抛一枚散子观察朝上一面的点数： 　　观测某品牌电视机的寿命： 　　记录110一天接到的报警次数： 　　在圆心为原点的单位圆内任取一点： 　　可以看出，样本空间的形式多种多样，样本点可以用数字表示，也可以用文字表示；样本点可以有有限个也可以有无限个；样本空间可以是连续的数集，也可以是可列无限的数集。仅含有两个样本点的样本空间是*简单的样本空间。 　　同步自测1-1 　　一、填空 　　写出下面随机试验的样本空间： 　　1.同时掷2枚骰子，记录它们的点数之和_____________________。 　　2.袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中任意取一球，观察其颜色_____。 　　3.袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中不放回地任意取3只球，记录取到的黑球个数__________。 　　4.在区间（2，3）内任取一点________________。 　　二、单项选择 　　1.一对夫妻将来准备要两个孩子，两个孩子的性别所有可能的结果为（）。 　　（A）{男男，女女}（B）{男男，男女，女女} 　　（C）{男男，女男，女女}（D）{男男，男女，女男，女女} 　　2.一个袋子中有分别标上①、②、③的三个球，不放回地任取两个球上的数值之和构成的样本空间为（）。 　　（A）{2，3，4}（B）{3，4，5} 　　（C）{4，5，6}（D）{1，2，3} 　　3.某生产车间生产出n件合格品时停止生产，其生产产品的总量构成的样本空间为（）。 　　（A）{1，2， ，n， }（B）{1，2， ，n} 　　（C）{n，n+1，n+2， }（D）{n} 　　1.2随机事件及其概率 　　1.2.1随机事件 　　对于随机试验，我们有时不仅关心它的某个基本结果，常常还会对某些基本结果组成的集合感兴趣。比如掷骰子试验，我们可能对是否出现了偶数点感兴趣，也就是我们可能会关注样本空间的子集{2，4，6}，而试验结果可能是该子集中某个样本点出现了，也可能三个样本点都不出现，我们把这个子集称为随机事件，显然，当且仅当{2，4，6}中某一个样本点出现时，我们可以说“掷骰子出现偶数点”这一随机事件发生了。一般地，我们有下面的定义： 　　定1.2　随机试验的若干基本结果组成的集合（样本空间的子集）称为随机事件，简称事件，只含有一个基本结果的事件称为基本事件。 　　随机事件常用大写英文字母A，B，C，来表示。 　　关于随机事件概念的几点说明： 　　（1）随机事件可以用样本空间的子集来表示，随机事件A发生当且仅当事件A中的某个样本点出现了； 　　（2）基本事件是指只含有一个样本点的集合； 　　（3）样本空间D作为自身的子集，包含所有的样本点，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。空集0作为样本空间的子集，不包含任何样本点，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。 　　例1.3　掷一枚骰子观察出现的点数，样本空间为n={1，2，3，4，5，6}。 　　A1={1，3，5}表示随机事件“出现奇数点”； 　　A2={2，4，6}表示随机事件“出现偶数点”； 　　A3={5，6}表示随机事件“出现点数大于等于5”； 　　A4={5}表示随机事件“出现5点”，它是一个基本事件； 　　事件“出现的点数不大于6”是必然事件，可用表示； 　　事件“出现的点数大于6”是不可能事件，可用表示。 　　1.2.2事件间的关系及运算 　　伴随一个随机试验可以有很多随机事件，概率论的任务之一就是要研究事件之间的关系，以及各种事件发生的可能性。由于事件可以用集合表示，因而事件间的关系及运算实质上是集合间的关系及运算，但是要搞清楚各种关系和运算在概率论中的意义。下面对事件的讨论总是假设在同一个样本空间D中进行。 　　1.事件间的关系 　　1）包含 　　若事件A中的样本点都在事件B中，则称A包含于B，或者B包含A，记为也称A为B的子事件。 　　显然，AgB意味着事件A发生则事件B必发生。 　　例如，A=“掷一枚骰子出现3点”，B=“掷一枚骰子出现奇数点”，则有益C称A为B的子事件。再例如，C=“有女生上课迟到”，D=“有人上课迟到”，则，C为D的子事件。 　　2）相等 　　如果事件A与事件B满足且，则称A与B相等，记为A=B。 　　显然，两个事件相等意味着这两个事件是同一个集合。因此，事件中有一个发生则另一个也必发生。 　　有时不同语言描述的事件也可能是同一件事。例如，记事件4为“掷两枚骰子出现的点数之和为奇数”，记事件B为“掷两枚骰子出现的点数为一奇一偶容易看出，事件A与事件B对应了同样的集合，A发生必然导致B发生，B发生也必然导致A发生，所以A=B 　　3）互不相容（互斥） 　　如果事件4和B没有相同的样本点，则称A与S互不相容或互斥。 　　显然，事件A和B互不相容意味着A，B不能同时发生。 　　例如：A=“掷一枚骰子出现3点或5点”，B=“掷一枚殷子出现偶数点”，即A={3，5}，B={2，4，6}，显然A与B没有相同的样本点，A与B互不相容，所以A，B不能同时发生。 　　4）对立（互逆） 　　若事件B是由中不在A中的所有样本点组成的集合，则称B与A对立或互逆，也称B为A的对立事件或逆事件。 　　显然，事件A和B对立意味着事件A和B中有且只有一个发生。 　　例如，A=“掷一枚骰子出现奇数点”，B=“掷一枚骰子出现偶数点”，即A={1，3，5}，B={2，4，6}，显然A与B对立，A与B必有一个发生且不能同时发生。 　　A的对立事件记作表示A不发生。显然 　　2.事件的运算 　　1）事件A与B的和 　　由A与S的全部样本点组成的集合，称为事件A与B的和（或并），记为。 　　由于和事件中的样本点至少属于A与B之一，所以益发生表示事件A，B至少有一个发生。 　　例如，甲、乙两人同时向一个目标射击，A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标”，C=“目标被击中”。 　　请思考：一定能得到B=C吗? 　　事件的和运算可推广到有限个或可列无限个事件的情形，假设有事件。 　　2）事件A与B的积 　　由既属于A又属于B的样本点组成的集合，称为事件A与B的积（或交），记为或AB。 　　由于积事件中的样本点同时属于A和尽所以或AB发生表示事件A与B同时发生。 　　例如，某试卷共两道大题，每道题10分，A=“答对第1题”，B=“答对第2题”，C=“得20分”，则，或记为C=AB。 　　请思考：若AB=AC，一定能得到B=C吗? 　　事件的积运算也可推广到有限个或可列无限个事件的情形。假设有事件 　　显然，事件A与B互不相容当且仅当其积事件为不可能事件，即。事件A与B对立当仅当其积事件为不可能事件，且其和事件为必然事件，即且。 　　3）事件A与B的差 　　由属于事件A而不属于事件B的样本点全体组成的集合称为A与B的差，记为A—B。 　　由于差事件A-B中的样本点只属于A而不属于B，所以A-B发生表示事件A发生而B不发生。 　　显然。 　　例如，掷一枚骰子，A=“出现奇数点”，B=“出现的点数小于5”，C=“出现5点”，由于A={1，3，5}，B={1，2，3，4}，C={5}，易见，C=A—B=