离散数学

第1章预备知识1

1.1矩阵知识1

1.1.1矩阵概念1

1.1.2矩阵运算3

1.1.3布尔矩阵5

1.2组合数学基础6

1.2.1整除与*大公约数、素数6

1.2.2基本计数原则9

1.2.3排列组合10

1.2.4鸽笼原理14

本章习题15

第2章集合17

2.1集合的基本概念17

2.2集合间的相互关系18

2.3集合的运算18

2.4序偶与笛卡儿积22

2.5容斥原理23

本章习题25

第3章命题逻辑26

3.1命题概念26

3.2命题联结词27

3.2.1否定联结词“??瘙綈”27〖1〗离散数学〖1〗目录3.2.2合取联结词“∧”28

3.2.3析取联结词“∨”29

3.2.4蕴涵联结词“→”30

3.2.5等价联结词“”30

3.2.6其他联结词32

3.3命题公式33

3.4命题逻辑等值演算36

3.4.1等值式与等值演算36

3.4.2联结词完备集39

3.5对偶与范式42

3.5.1公式的对偶42

3.5.2析取范式与合取范式43

3.5.3主析取范式与主合取范式44

3.6命题逻辑推理52

3.6.1推理的基本概念52

3.6.2推理的基本方法53

本章习题56

第4章谓词逻辑59

4.1谓词逻辑基本概念59

4.1.1个体59

4.1.2谓词60

4.1.3量词61

4.2谓词公式65

4.2.1谓词公式65

4.2.2谓词公式的解释与类型67

4.3谓词公式等值演算70

4.4前束范式74

4.5谓词逻辑推理78

本章习题84

第5章关系86

5.1关系的定义86

5.2关系的表示87

5.2.1关系的矩阵表示87

5.2.2关系的关系图表示88

5.3关系的运算89

5.3.1关系的集合运算89

5.3.2关系的复合运算90

5.3.3关系的幂运算92

5.3.4关系的逆运算93

5.4关系的性质94

5.4.1自反性与反自反性94

5.4.2对称性与反对称性96

5.4.3传递性98

5.5关系的闭包102

本章习题106

第6章特殊关系108

6.1等价关系108

6.1.1等价关系的概念108

6.1.2等价类与商集109

6.1.3划分111

6.2偏序关系114

6.2.1偏序关系的概念114

6.2.2哈斯图115

6.2.3拓扑排序117

6.3函数120

6.3.1函数的定义120

6.3.2函数的性质121

6.3.3复合函数1226.3.4逆函数123

本章习题125

第7章图论基础128

7.1图论三个经典问题128

7.2图的基本概念130

7.2.1图的定义130

7.2.2握手定理132

7.2.3图的表示132

7.2.4子图与补图136

7.2.5图的同构138

7.3图的连通性139

7.3.1通路与回路139

7.3.2无向图的连通性141

7.3.3有向图的连通性143

本章习题146

第8章特殊图148

8.1欧拉图148

8.2哈密尔顿图152

8.3平面图154

8.4无向树157

8.4.1无向树定义及性质157

8.4.2生成树与*小生成树159

8.5根树163

8.5.1有向树与根树163

8.5.2根树的遍历165

8.5.3*优树167

本章习题169

第9章代数系统171

9.1代数系统概述171

9.2运算的性质和特殊元素174

9.2.1运算的性质174

9.2.2特殊元素177

9.3代数系统的同态181

9.3.1代数系统的同态定义181

9.3.2子代数与积代数183

本章习题184

第10章特殊代数系统187

10.1半群与独异点187

10.2群190

10.2.1群的定义及基本性质190

10.2.2交换群192

10.3循环群193

10.3.1元素的周期193

10.3.2循环群的定义194

10.3.3子群196

10.3.4群同态199

10.4置换群201

10.5陪集与拉格朗日定理205

10.5.1陪集205

10.5.2拉格朗日定理207

10.6正规子群与商群208

10.6.1正规子群208

10.6.2商群210

本章习题212

第11章环、域、格和布尔代数214

11.1环214

11.2域217

11.3格218

11.3.1格218

11.3.2分配格、有界格、有补格220

11.4布尔代数221

本章习题222

参考文献224