随机过程教程

第1章通用概念 　　随机过程，顾名思义，它首先是一个过程，因此是时间t的函数;其次，它受到定语“随机”的修饰，因此也是某个概率参数ω的函数.所以简言之，随机过程就是一个二元函数X(t，ω). 　　就像概率论起源于现实生活中的问题(例如赌博:其结构在古代是简单的、有限的，在现代则是综合的、无限的——想想全球股市;例如天气预报:在古代是代代相传的经验——你还记得那些古老的农谚吗?在现代则是建立在科学分析的基础上，由专业的气象台做出的——尽管科学而专业，但仍然不能绝对准确，即不是百分之百地确定，而是只有一定的可靠度，即确定的比率，简称确率(这正是probability的日译))一样，随机过程也起源于现实生活中的问题.实际上，无论是科学实验中还是日常生活中，所有随时间流逝而演化的过程，多多少少都有些不确定性也就是随机性，区别只是程度不同、重要性不同而已.比如，一个小区是否发生火灾，里面有很多因素.其中有些因素是确定的，比如小区的人员、房子的结构等等，但更多的因素是不确定的，比如说，是否有调皮的男孩子偶尔玩玩火，天气是否干燥炎热，是否忘记关掉煤气，等等;比如，高铁的飞奔过程中，司机、乘客人数、行车速度是确定的或至少是可以人为地控制的，但供电线路是否故障、轨道是否稳定、桥梁是否牢固、是否有狂风暴雨则是随机的或至少是不能完全人为控制的;还有战场的形势，战争的双方都有己方所不知晓或不能控制的因素.而所谓知己知彼百战百胜岂不就是说要尽量减少自己不知晓的因素从而尽量减少不确定性?就更不用说股市了，万众仰慕的股神在它的不确定性面前不是也有栽得头破血流的时候? 　　同是随机的也就是不确定的因素，其性质往往也不尽相同.例如现在大家都相信(尽管伟大如爱因斯坦仍然可能会不同意，如果彼岸的世界的确存在的话)，量子力学本质上就是随机的;但扔硬币，*终得到正面或反面，如果我们承认扔出去的硬币服从经典动力学原理(这应该没有什么疑问吧?)，那么只要我们充分地掌握了影响此硬币运动的所有要素，*终的结果应该就不是随机的而是可以预测的.问题在于*终的结果只有两个，是离散的，而影响这个结果的诸多因素是连续变化的，因此这些因素中的任何一点微小改变都可能会导致结果的截然不同.如果你扔的不是一枚硬币而是一个圆球，我相信结果之于因素的变化也会是连续的，因而是可以预测、可以计算的——你不相信吗?但很不幸，我们现在扔的的确是一枚硬币而不是一个圆球，所以我们只能认为结果是随机的——否则还能怎么样呢?对这样一些本质上是确定性的问题，我们仍然需要概率论来处理. 　　然而必须承认，面对着这随机的大千世界，即使使用了概率论，我们其实更多的时候也是充满一种无奈无力无所可为感的，因为就像过于广泛的函数其实没有什么可深入研究的一样，泛泛的一个随机过程，其实没有什么好谈的，因为对于它们，我们至少在目前的认识还是非常有限的，如果不是完全没有的话.所以，我们真正感兴趣的，真正能有所作为的，是满足一些额外的性质的随机过程.我们需要将它们归类，然后分门别类进行研究.不过，在此之前，我们仍然有可能且有必要(从避免重复的角度看)引进一些有关随机过程的通用概念、术语和记号.下面就从这里开始我们的随机过程之旅. 　　1.1概率空间 　　没有任何选择的余地，我们将使用概率论中描述随机性的基本概念与记号——(Ω，F，P)表示概率空间. 　　在初等乃至高等概率论中，有这个概率空间就够用了.但现在我们需要考虑随时间演化的过程，因此还需要一个时间参数集TR.T主要有下面几种情况:或其有限子集，T=[0，T]或[0，T).这里T.1.当T=1时，[0，T]理解为[0，1)=R+(不过，如果直接写为[0，1]，则仍然理解为是包含了1的闭区间).R+与比如说[0，1]的区别并不在于一个是无限区间而另一个是有限区间，而在于一个是右开的而另一个是右闭的，所以我们实际上不用考虑有限的左闭右开区间比如说[0，1)，因为它显然可以通过一个变换化为[0，1)，故对[0，1)成立的结果对[0，1)或[0，T)也成立，反之亦然. 　　我们将常常在F之外，考虑其一族随t的增大而递增的子σ-代数，以后称其为σ-代数流.我们将假定这里的F是完备的，且任何一个都包含F里的全部P-可略集à，即若以N表示F中的P-可略集全体，则NF0.此外，当T=[0，T]时，假定. 　　这个性质称为(Ft)的右连续性质.有些时候，也许我要说是很多时候，这个性质起初是并不满足的，但一旦对σ-代数流进行完备化后，即在每个Ft中加入F中的所有的P-可略集之后，就立即满足了. 　　有了这个性质，关于离散时间随机过程的许多性质便可以通过极限手续过渡到连续时间随机过程，你会慢慢领悟的.但同时，我必须现在就告诉你的是，这个性质并不是因为有这种过渡的需要而人为假设的，在很多重要的情形，事实上在 　　本书所考虑的所有连续时间过程情形，这个性质都是满足的.所以这个性质只是人们所提炼出来的诸多随机模型所拥有的一个共同性质而已. 　　由于上面所列举的这些条件通常都是满足的，且是我们常常需要使用的，故称之为通常条件;更精准地说，我们有下面的定义. 　　定义1.1.1设(Ω，F，P)是概率空间，是F的子σ-代数族，其中T是区间.考虑下列条件: 　　(i); 　　(ii)是P-完备的; 　　(iii)以N表示F中的P-零集全体，则; 　　(iv). 　　这些条件统称为通常条件，而满足这些条件的就自然地称为满足通常条件的赋流概率空间，或仍然简称为概率空间. 　　这里及以后一般来说我们会省略掉指标集T，因为在具体的环境中，那常常是自明的.当然，的确需要时我们会加以说明. 　　从现在起，我们约定:在T为区间的场合，当我们以后写下时，除非明确具体地指定或另有说明，就自动意味着它是满足通常条件的赋流概率空间.同时我们假定所有的正则条件概率或正则条件分布均存在——至少对本书涉及的内容而言，这实际上很难说是一个限制条件，因为你只要不是钻牛角尖式地构造反例，它总是满足的.例如，我们总可以把我们感兴趣的概率测度定义在Polish空间上，这时就没有任何问题了.不光如此，此时该概率空间还是可分的(可分的定义及良好的基本性质可见[60]). 　　1.2随机过程 　　作为定义在(Ω，F，P)上的一族随机变量，随机过程有其取值的范围，即值域或更常见一点地称为状态空间.在这个状态空间上拓扑结构不是绝对必需的(虽然对深入的研究是必需的，但对浅显的通识教育不是必需的)，但可测结构是必不可少的.设这个值域是S，它上面的可测结构(即σ-代数)是S，则(S，S)为可测空间.本书*常见的情况是S为欧氏空间，S为其Borelσ-代数. 　　下面是正式的初始定义. 　　定义1.2.1设(Ω，F，P)是概率空间.若为F/S可测，则称为S-值随机过程.当S=Rd时，简称d维随机过程;S称为X的状态空间.不需要说明或强调状态空间时简称随机过程，或更简单一点地称为过程. 　　我们想强调指出，正像随机变量一样，随机过程是定义在概率空间(Ω，F，P)上的东西，而不仅仅是定义在可测空间(Ω，F)上的.也就是说，概率测度P在这里扮演着不可或缺的角色:哪怕X的定义不做任何改变，只要概率测度变了，它就代表完全不同的过程.例如，设Ω=C([0，1])为[0，1]上的实值连续函数全体，赋予一致收敛拓扑;F是Ω上的Borelσ-代数，P是F上的集中在上的测度，这里C0([0，1])是Ω中所有在原点取零的函数组成的子空间.固定x2R.任给，令.则ξ为Ω到Ω的连续映射，因而是可测映射.令.则同一个坐标过程，在P下代表着从0出发的过程，因为P(X(0)=0)=1;而在Qx下则代表着从x出发的过程，因为——它们当然是不同的过程. 　　随机过程X(t，ω)的两个参数中，t代表时间，因此称为时间参数;ω代表样本，因此称为概率参数.固定，函数称为X的样本轨道，或简称轨道，常常用X(，ω)表示.对随机过程X，我们常根据行文方便记为或Xt;需要说明一下的是，根据上下文，将不难区分比如说X(t，ω)到底是表示X还是X在(t，ω)处的值.所以这虽然涉嫌滥用记号，但也会带来很多便利，且同样的事——比如将f与f(x)通用，虽然用f()更符合逻辑一些——我们早在学数学分析的时候就做过，这样做的明显的好处之一是用f(x)顺带就说明了自变量x的属性和变化范围，而不需要另加说明，这尤其在有多个变量时会省很多事.现在这样做也基于同样的理由.不过在诸如“有一列随机过程Xn”的句子或短语中，这个下标n自然不会是时间，这在具体的语境中也将是自明的.这些不同的记法往往会交替出现，甚至会出现在相邻的式子里.交替出现也许是为了记号的简洁，也许是为了排版的方便，甚至，谁知道呢，也许只是随机选择的.但根据上下文，一般不会导致混淆.确有混淆的危险时，我们会另行明确之.现在提前在这里说明，勿谓言之不预，引起困惑. 　　设X是概率空间(Ω，F，P)上的随机过程.以N表示P-可略集全体.令. 　　则满足通常条件，称为X的自然σ-代数流.为简洁起见，以后常用表示.类似地，对任何一个随机变量ξ，我们也用表示. 　　下面是涉及两个随机过程间关系的两个基本概念. 　　定义1.2.2设X，Y是定义在同一个概率空间上的两个过程. 　　1.若，则称X和Y随机等价，或互为修正. 　　2.若，则称X与Y无区别. 　　虽然修正是相互的.但在处理任何问题时，我们总是想将一个不那么好的东西修得比较好而不是相反——相反的话就叫捣毁了.例如，如果X有一个修正，其轨道是几乎必然连续的，则称X有连续修正.X有连续修正并不意味着X本身的轨道几乎必然连续(你能举出个例子吗?)，所以修正后X的确是变好了. 　　随机等价概念的提出是基于以下理由:对一个自然现象，我们只能在有限个时间点去观察它，因此得到的是有限个观察值.然而这组数据提供的信息并不能唯一决定X的轨道状况.具体一点说，设这个观察是Xt，若记Y是另一组观察，那么哪怕 　　对任意选择的n，t1，，tn都成立，也不能保证 　　事实上，若不附加适当的条件，上式左边是否有意义都成问题，因为可能不是事件.诸如此类的问题往往会给事情的处理带来很大的困扰.这时我们自然希望能建立一个比较好处理的数学模型来描述它，也就是说我们可以在所有这些过程中选择一个样本轨道比较好的来作为它的代表，因此便诞生了随机等价这个概念.至于什么叫比较好的轨道，什么时候有比较好的代表，那是另一个复杂的问题. 　　为解决这个问题，历史上曾出现过可分过程的概念，例如见[11，76].但这一概念过于宽泛，且用处有限，已经慢慢淡出了人们的视野.现在人们意识到，*有研究价值的是几乎所有轨道均连续的或右连左极(在每一条轨道的每一点都是右连续，同时有左极限)的过程.本书则主要集中于轨道连续的过程——这种过程简称为连续过程. 　　而无区别，顾名思义，则是指两个过程(几乎)是完全一样的.无区别的过程显然随机等价，但反之不然.如果硬要与我们熟悉的概念类比的话，无区别的概念相当于数学分析中两个函数恒等的概念，而随机等价在数学分析中没有对应的概念，它是随机过程理论中特有的. 　　1.3停时 　　伴随着一个随机过程，我们常常会给它设立一个大大小小的目标.例如，如果你是一个商人，也许你会给自己设立一个小目标:赚一个亿;如果你是一个学生，也许你会给自己设立一个大目标:进入年级前百分之五.凡此种种，不一而足.实现这个目标的时刻，自然因人而异，且往往具有特别的重要性.这样的时刻τ，我们称之为停止时刻，简称停时.下面是它的正式定义. 　　定义1.3.1概率空间上的取值于的随机变量τ，若满足，则称为(Ft)-停时，无混淆危险时简称停时，其中. 　　当T为区间时，τ为停时等价于(见习题4). 　　显然，作为定义在Ω上的函数.