高等数学(下)(第二版)

第6章 微分方程与差分方程 微积分的研究对象是函数，因此如何寻找建立函数关系具有重要意义. 在许多实际问题中往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，但经过适当数据分析处理和简化后，能够建立起关于未知函数的导数或微分的关系式，这种关系式就是微分方程. 例如，物体的冷却、人口的增长、病毒的扩散、新产品销售等都可以归结成微分方程的问题. 通过研究，用一定的方法找出满足方程的未知函数的过程，就称为解微分方程. 求解微分方程即可得到各变量间的函数关系，从而认知实际问题的规律，所以微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各学科进行科学研究的工具. 微分方程是一门独立的数学分支，有完整的理论体系，考虑到微分方程与微积分密切相关且在实际中有广泛应用，本书受篇幅限制，仅简单介绍微分方程的基本概念、几种常见的简单微分方程的解法，以及微分方程在实际中的简单应用. 此外，在自然科学、工程技术和社会现象中，很多数据都是按等时间间隔周期统计的，因此有关变量的取值是离散化的，如何寻求它们之间的关系和变化规律呢？差分方程是研究这类离散型数据的有力工具，基于应用的需要，在本章*后一节将简单介绍差分方程的概念、几种简单差分方程的解法及其在经济学中的简单应用. 6.1 微分方程的基本概念 6.1.1 引例 例6.1.1 一曲线过点(1， 2)，且在该曲线上的任意点M(x， y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，可知未知函数y=y(x)应满足如下关系： （6.1.1） 又因曲线y=y(x)过点(1， 2)，故y=y(x)应满足条件： y(1)=2 （6.1.2） 为求满足式（6.1.1）的未知函数y=y(x)，将式（6.1.1）两边积分，得 即 y=x2+C (C为任意常数) 将条件（6.1.2）代入上式得C=1，于是所求曲线方程为 y=x2+1 式（6.1.1）就是一个微分方程. 例6.1.2 假设某人以本金p0进行一项投资，投资的年利率为r，以连续复利计，求t年后资金的总额. 解 设t时刻（以年为单位）的资金总额为p(t)，且资金没有取出也没有新的投入，则 t时刻资金总额的变化率=t时刻资金总额获得的利息 即（6.1.3） 显然，未知函数p(t)满足下列条件：当t=0时，p(t)=p0，记为 求满足微分方程（6.1.3）的函数p(t)的一般方法将在下一节介绍，根据条件解出p=p(t)，就可得到t年后资金的总额. 6.1.2 基本概念 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数与未知函数的导数或微分之间的关系式. 若其中的未知函数是一元函数，则称该微分方程为常微分方程；若未知函数是多元函数，并且在方程中出现偏导数，则称该微分方程为偏微分方程. 本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 在一个常微分方程中，未知函数*高阶导数的阶数，称为方程的阶. 例如，=2x是一阶微分方程，y″+2y+x=0是二阶微分方程，+x3(y″)2-4xy′=9x2是三阶微分方程等. 一阶常微分方程的一般形式可表示为 F(x， y， y′)=0 （6.1.4） 如果在式（6.1.4）中能将y′解出，那么得到方程 （6.1.5） （6.1.6） 式（6.1.4）称为一阶隐式方程，式（6.1.5）称为一阶显式方程，式（6.1.6）称为微分形式的一阶方程. n阶隐式方程的一般形式为 （6.1.7） 如果能从方程（6.1.7）中解出*高阶导数，就得到微分方程 y(n)=f(x， y， y′， ， y(n-1)） （6.1.8） 如果方程（6.1.7）可表示为如下形式： （6.1.9） 那么称方程（6.1.9）为n阶线性微分方程. 其中a1(x)， a2(x)， ， an(x)和f(x)均为自变量x的已知函数. 不能表示为形如式（6.1.9）的微分方程，统称为非线性方程. 例如： （1）方程2x+y=x2中含有的和y都是一次的，故该方程是二阶线性微分方程； （2）方程2+=x2+y中含有的平方项，故该方程是二阶非线性微分方程； （3）方程siny+ey=x+1中含有非线性函数sin和ey，故该方程是三阶非线性微分方程. 6.1.3 微分方程的解 微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义6.1.1 设函数y=φ(x)在区间I上有n阶连续导数，若在区间I上，有，则称函数y=φ(x)为微分方程（6.1.7）在区间I上的解. 这样，从定义6.1.1可以直接验证： （1）函数y=x2+C是方程=2x在区间(-∞， +∞)内的解，其中C为任意常数. （2）函数y=sin(arcsinx+C)是方程=在区间(-1， 1)内的解，其中C为任意常数. 又该方程有两个明显的常数解y =±1，这两个解不包含在上述解中. （3）函数y=C1cosx+C2sinx是方程y″+y=0在区间(-∞， +∞)内的解，其中C1和C2为独立的任意常数. （4）函数y2=C1x+C2是方程yy″+y′2=0在区间(-∞， +∞)内的解，其中C1和C2为独立的任意常数. 这里仅验证（3），其余留给读者完成. 事实上，在(-∞， +∞)内有，所以在(-∞， +∞)内有 y″+y=0 从而该函数是方程y″+y=0的解. 从上面的讨论中可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解；含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注 这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少. 由上面的定义不难看出，函数y=x2+C，y=sin(arcsinx+C)，y=C1cosx+C2sinx分别是对应方程的通解，而函数y=±1是方程=的特解. 许多实际问题都需要寻求满足某些附加条件的解，而这些附加条件可以用来确定通解中的任意常数. 例如，例6.1.1中根据曲线过点(1， 2)这个附加条件可确定C=1，从而得到问题的特解为y=x2+1. 这类附加条件称为初始条件，也称定解条件. 设微分方程中的未知函数为y=y(x)，若微分方程是一阶的，初始条件是x=x0，则 （6.1.10） 其中x0， y0都是给定的值. 若微分方程是二阶的，初始条件是x=x0，则 （6.1.11） 其中x 0， y0， y1都是给定的值. 求微分方程满足初值条件的特解的问题称为微分方程的初值问题. 例6.1.1中，所求曲线方程y=x2+1就是初值问题的解. 对于一阶方程，若已求出通解y=φ(x， C)，只要将初值条件y(x0)=y0代入通解中，得到方程.从中解出C，设为C0，代入通解，即得满足初值条件的解y=φ(x， C0). 为了便于研究方程解的性质，常常考虑解的图像. 一阶方程（6.1.5）的一个特解y=φ(x)的图像是xOy平面上的一条曲线，称为方程（6.1.5）的积分曲线，而通解y=φ(x， C)的图像是平面上的一族曲线，称为积分曲线族. 例如：方程（6.1.1）的通解y=x2+C是xOy平面上的一族抛物线；而y=x2是过点(0， 0)的一条积分曲线. 例6.1.3 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律： 物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，则可建立起函数T(t)满足的微分方程： 其中k(k>0)为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意，T=T(t)还需满足条件 例6.1.4 设某商品在t时刻的售价为P，该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P)， S(P)，则在t时刻的价格P(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程 =k[D(P)-S(P)] (k>0) 在D(P)和S(P)确定情况下，可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型. 例6.1.5 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数： （1）；（2）；（3）； （4）. 解 （1）是一阶线性微分方程，因方程中含有的和y都是一次方. （2）是一阶非线性微分方程，因方程中含有的平方项. （3）是二阶非线性微分方程，因方程中含有的三次方. （4）是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数和. 例6.1.6 求曲线族x2+Cy2=1满足的微分方程，其中C为任意常数. 解 求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程，使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族. 因此所求微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等. 这里，通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程. 等式x2+Cy2=1两边对x求导得再从x2+Cy2=1解出C=，代入上式得 2x+2yy′=0 化简即得到所求微分方程 xy+(1-x2)y′=0 例6.1.7 验证函数y=(x2+C)sinx（C为任意常数）是方程的通解，并求满足初始条件的特解. 解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同. 将y=(x2+C)sinx求一阶导数，得 将y和代入方程左边得 因方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，故y=(x2+C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件代入通解y=(x2+C)sinx中得 则 从而所求特解为