迷人的对称

纵观历史，数学从两个不同的方向汲取了养分。一个是自然界，另一个则是逻辑思考的抽象世界。是两者的结合让数学具备了探知我们宇宙的能力。狄拉克完美地理解了这个关系：“数学家玩着他自己发明规则的游戏，而物理学家则玩着由大自然制定他规则的游戏，但是随着时间推移，越来越多的证据表明数学家觉得有意思的那些规则和大自然选择的规则是一样的。”纯数学和应用数学互相补充，它们并非两极分化，而是一个连续的思想光谱的两端。 对称的故事告诉了我们，为什么对一个好问题（“能不能解五次方程”）的否定回答能指向深刻而基础的数学。重要的是为什么回答是否定的。得到这个结论的方法可以被用来解决很多别的问题——其中就有物理学中的很多深刻问题。而我们的故事也表明，数学的健康发展也得益于物理世界为其注入了新的生机。 数学的真正力量，恰恰就是这种人类对模式的感知（“美”）同物理世界的融合，后者既能帮助理论经受现实的检验（“真”），也是灵感的无限源泉。没有数学上的新想法，我们就无法解决科学提出的问题；但是自娱自乐的新想法如果走向极端，就会沦为毫无意义的游戏。科学的需求一直敦促着数学沿着富有成效的道路前行，并时常提出新的方向。 如果数学完全是需求导向的，是科学的奴隶，那不出所料，你得到的成果就会和奴隶做的一样——闷闷不乐、慢慢吞吞、怨天尤人。如果数学完全由内在的好奇心驱动，那你只会看到一个娇生惯养、自私自利的顽童——飞扬跋扈、目中无人、一意孤行。*好的数学需要平衡自身和外界的需求。 这就是其“不合理的有效性”的来源。平衡的人格能从自身的经验中学习，并将所学知识迁移到新的环境中。真实世界启发了伟大的数学，而伟大的数学则可以超越真实世界。 那位发现了如何解二次方程的无名巴比伦人，即使在他*大胆的梦里也决不会意识到自己的遗产在3 000多年后会变成什么。没人能预料到方程的可解性问题引出了数学中*核心的概念之一，即群，也没有人预料到群其实是用来表达对称性的语言。更没有人能知道，对称性其实是解开物理世界奥秘的钥匙。 解二次方程在物理上用处有限，解五次方程就更无足轻重了，因为任何解都是一个数值，或者只是一个专门为此问题设计的符号，并没有象征意义，反倒掩盖了问题本身。但是明白为什么五次方程不可解，领会对称在其中的关键角色，并将其背后的思想尽可能地深入下去，则开启了整个新的物理学领域。 这个过程还在继续。对称性对物理学，甚至对整个科学的影响，都还有待发掘。我们对此知之甚少。但是我们清楚地知道，对称群是我们通向未知的必经之路——至少在下一个更强大的概念出现之前如此（也许它已经在某个晦涩的理论里等待我们发掘了）。 在物理学中，美的理论并不一定是真的，但它有助于我们发现真相。 在数学中，美的理论一定是真的——因为任何错误都是丑陋的。