数值分析

前言
第1章绪论1
1.1数值分析研究对象与特点1
1.2数值计算的误差1
1.2.1误差来源于分类1
1.2.2误差与有效数字3
1.2.3数值运算的误差估计6
1.3误差定性分析与避免误差危害7
1.3.1病态问题与条件数7
1.3.2算法的数值稳定性8
1.3.3避免误差危害的若干原则8
习题9
第2章插值法11
2.1引言11
2.2拉格朗日插值11
2.2.1线性插值与抛物插值11
2.2.2拉格朗日插值多项式13
2.2.3插值余项与误差估计14
2.3均差与牛顿插值公式17
2.3.1均差及其性质17
2.3.2牛顿插值公式19
2.4差分与等距节点插值21
2.4.1差分及其性质21
2.4.2等距节点插值公式24
2.5埃尔米特插值25
2.6分段低次插值29
2.6.1高次插值的病态性质29
2.6.2分段线性插值32
2.7三次样条插值34
习题38
第3章函数逼近与曲线拟合40
3.1函数逼近的基本概念40
3.1.1函数逼近与函数空间40
3.1.2范数与赋范线性空间42
3.1.3内积与内积空间42
3.2正交多项式44
3.2.1正交函数族与正交多项式44
3.2.2勒让德多项式45
3.2.3切比雪夫多项式48
3.2.4其他常用的正交多项式49
3.3*佳一致逼近多项式50
3.3.1基本概念及其理论50
3.3.2*佳一次逼近多项式51
3.4*佳平方逼近52
3.4.1*佳平方逼近及其计算52
3.4.2用正交函数族做*佳平方逼近55
3.5曲线拟合的*小二乘法57
3.5.1*小二乘法及其计算57
3.5.2用正交多项式做*小二乘拟合58
3.6*佳平方三角逼近与快速傅里叶变换62
3.6.1*佳平方三角逼近与三角插值62
3.6.2快速傅里叶变换63
习题64
第4章数值积分与数值微分65
4.1引言65
4.1.1数值求积的基本思想65
4.1.2代数精度的概念66
4.1.3插值型求积公式68
4.2牛顿-科茨公式70
4.2.1科茨系数70
4.2.2偶阶求积公式的代数精度71
4.2.3复化求积法及其收敛性71
4.3龙贝格算法74
4.3.1梯形法的递推化74
4.3.2龙贝格公式75
4.3.3理查森外推加速法76
4.3.4梯形法的余项展开式78
4.4高斯公式79
4.4.1高斯点79
4.4.2高斯-勒让德求积公式80
4.4.3高斯公式的余项80
4.4.4高斯公式的稳定性81
4.4.5带权的高斯公式82
4.5数值微分85
4.5.1中点方法85
4.5.2插值型的求导公式86
习题87
第5章常微分方程数值解法88
5.1引言88
5.2欧拉方法88
5.2.1欧拉格式88
5.2.2后退的欧拉格式90
5.2.3梯形格式92
5.2.4改进的欧拉格式93
5.2.5欧拉两步格式95
5.3龙格-库塔方法95
5.3.1泰勒级数法95
5.3.2龙格-库塔方法的基本思想95
5.3.3变步长的龙格-库塔方法96
5.4单步法的收敛性和稳定性98
5.4.1单步法的收敛性98
5.4.2单步法的稳定性99
5.5线性多步法99
5.5.1基于数值积分的构造方法100
5.5.2亚当斯显式格式100
5.5.3亚当斯隐式格式102
5.5.4亚当斯预测-校正系统104
习题106
第6章非线性方程求根107
6.1根的搜索107
6.1.1逐步搜索法107
6.1.2二分法107
6.2不动点迭代法109
6.2.1不动点迭代过程的收敛性109
6.2.2迭代公式的加速113
6.3牛顿法116
6.3.1牛顿公式116
6.3.2牛顿法的几何解释117
6.3.3牛顿法的局部收敛性117
6.3.4简化牛顿法与牛顿下山法122
6.4弦截法与抛物线法123
6.4.1弦截法123
6.4.2抛物线法124
习题125
第7章解线性方程组的直接方法126
7.1引言126
7.2高斯消去法126
7.2.1消去法126
7.2.2矩阵的三角分解128
7.3高斯主元素消去法129
7.3.1完全主元素消去法129
7.3.2列主元素消去法130
7.3.3高斯-若尔当消去法131
7.4高斯消去法的变形132
7.4.1直接三角分解法132
7.4.2平方根法132
7.4.3追赶法134
7.5向量和矩阵的范数135
7.6误差分析137
习题138
第8章解线性方程组的迭代法139
8.1引言139
8.2基本迭代法139
8.2.1雅可比迭代法140
8.2.2高斯-赛德尔迭代法140
8.3迭代法的收敛性141
8.4解线性方程组的超松弛迭代法151
习题158
第9章特征值与特征向量的计算159
9.1幂法与反幂法159
9.1.1幂法159
9.1.2原点平移法162
9.1.3反幂法163
9.2雅可比方法166
9.2.1预备知识166
9.2.2旋转变换166
9.2.3雅可比方法及举例168
9.3多项式方法求特征值问题172
9.3.1多项式系数的求法172
9.3.2特征向量求法174
9.4QR算法180
习题184
习题参考答案185
参考文献198