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有限马尔可夫链的统计计算

有限马尔可夫链的统计计算

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图文详情
  • ISBN:9787030717030
  • 装帧:一般胶版纸
  • 册数:暂无
  • 重量:暂无
  • 开本:B5
  • 页数:304
  • 出版时间:2022-12-01
  • 条形码:9787030717030 ; 978-7-03-071703-0

内容简介

本书介绍有限状态空间马尔可夫链的基本理论,并介绍近些年来关于马尔可夫链的统计推断的一些研究新进展:马尔可夫链反演法确认可逆马尔可夫链的统计计算理论和(平稳)不可逆马尔可夫链的统计计算的相关进展。第1章介绍本书需要的一些预备知识:马尔可夫过程和马尔可夫链的相关知识;提出了禁忌速率的概念,介绍了其性质;对平稳性和可逆性进行了系统阐述;常用的统计分布及估计方法,特别是混合几何分布和混合指数分布。第2章介绍马尔可夫链的击中分布及相关性质,主要是击中分布与禁忌速率之间的关系。第3章和第4章分别研究连续和离散时间参数下有限状态空间马尔可夫链的统计计算理论,主要是马尔可夫反演法理论,包括生灭链(线形)、星形分支、环形、树形等规则的类型,以及带环情形等一般的马尔可夫链情形,形成较完善的马尔可夫反演法统计计算理论。第5章从统计的角度介绍如何确定潜在马尔可夫链的类型,以及该方法引起的误差传播(证明不会扩大击中分布估计引起的误差)。第6章讲述各种类型马尔可夫链的统计计算的算法,数值例子,以及在生物学、经济学、交通网络等领域的实际应用。第2章至第5章,主要是作者团队的研究成果。

目录

目录
第1章预备知识1
1.1概率空间与随机变量1
1.2几种常用分布4
1.2.1几何分布与指数分布4
1.2.2混合几何分布与混合指数分布5
1.3几种常用的参数估计7
1.3.1矩估计7
1.3.2极大似然估计8
1.3.3EM算法10
1.3.4混合几何分布与混合指数分布的估计10
1.4马尔可夫链12
1.5离散时间马尔可夫链的生成元15
1.5.1平稳分布与可逆性16
1.5.2禁忌概率18
1.6连续时间马尔可夫链的生成元19
1.6.1Q-过程及轨道性质19
1.6.2平稳分布与可逆性21
1.6.3禁忌概率与禁忌速率22
1.7马尔可夫链的拓扑结构24
第2章可逆马尔可夫链的击中分布及反演法框架27
2.1连续时间可逆马尔可夫链的击中分布及性质27
2.1.1击中时分布28
2.1.2禁忌速率刻画击中分布的微分性质29
2.1.3击中分布的矩性质36
2.1.4击中分布指数的对称函数性质37
2.2离散时间可逆马尔可夫链的击中分布及性质38
2.2.1击中时分布39
2.2.2修正禁忌概率刻画击中分布与转移矩阵的约束关系41
2.3马尔可夫链反演法框架46
2.3.1马尔可夫链的统计计算问题46
2.3.2原始观测数据及数据拟合47
2.3.3马尔可夫链的可确认性49
第3章连续时间可逆马尔可夫链的统计计算51
3.1生灭链的统计计算51
3.1.1证明思路52
3.1.2归纳证明53
3.1.3由两相邻状态的观测确认55
3.2星形分枝链的统计计算58
3.2.1由各分枝叶子状态的观测确认59
3.2.2由中心状态及其相邻状态观测确认64
3.2.3由每个分枝中任意两相邻状态的观测确认75
3.3星形链的统计计算76
3.3.1由中心状态的观测确认77
3.3.2由各叶子状态的观测确认78
3.4层次模型链的统计计算79
3.4.1由叶子状态的观测确认80
3.4.2由中层状态的观测确认82
3.5树形链的统计计算85
3.5.1一般树形链的统计计算85
3.5.2基本结论86
3.5.3主要结论89
3.5.4几类特殊树形链的统计计算91
3.6环形链的统计计算96
3.6.1借鉴生灭链证明98
3.6.2任意两相邻状态观测的证明100
3.6.3给定两相邻状态观测的证明102
3.6.4四个状态的环形链110
3.7有环链的统计计算112
3.7.1潘图单环链112
3.7.2*简单的单环链121
3.7.3蝌蚪图单环链127
3.7.4一般单环链:环形与树形组合131
3.7.5双环链140
3.8一般马尔可夫链的统计计算145
3.8.1马尔可夫链子模型的统计计算145
3.8.2基本结论和准则151
3.8.3一般性通用结论156
第4章离散时间可逆马尔可夫链的统计计算158
4.1离散时间线形马尔可夫链的统计计算158
4.2离散时间可逆环形马尔可夫链的统计计算160
4.2.1借鉴线形链证明161
4.2.2任意两相邻状态观测的证明163
4.3一般性通用结论166
第5章不可逆平稳马尔可夫链的统计计算167
5.1连续时间不可逆平稳马尔可夫链的击中分布及性质167
5.1.1击中分布167
5.1.2禁忌速率刻画击中分布的微分性质171
5.1.3击中分布的矩性质174
5.2马尔可夫链的环流和环流分解175
5.3连续时间不可逆平稳有环链的统计计算177
5.3.1环形链的统计计算177
5.3.2双环链的统计计算190
5.3.3一般性通用结论194
第6章统计算法、数值例子和应用195
6.1统计算法195
6.1.1生灭链统计算法195
6.1.2星形分枝链统计算法198
6.1.3星形链统计算法199
6.1.4层次模型链统计算法200
6.1.5树形链统计算法200
6.1.6环形链统计算法205
6.1.7单环链统计算法209
6.1.8双环链统计算法214
6.1.9不可逆平稳双向环形链统计算法216
6.2数值例子216
6.2.1生灭链数值例子217
6.2.2环形链数值例子220
6.2.3星形分枝链数值例子222
6.2.4层次模型链数值例子226
6.2.5潘图形单环链数值例子228
6.2.6树形链数值例子230
6.2.7一般单环链数值例子234
6.2.8不可逆平稳双环链数值例子239
6.2.9*小环形链数值例子246
6.3神经科学领域的应用249
6.3.1应用背景249
6.3.2离子通道实例260
6.4经济领域的应用262
第7章模型选择与误差传播268
7.1模型选择方法268
7.1.1AIC269
7.1.2BIC270
7.2马尔可夫链模型选择270
7.3马尔可夫链反演法的误差传播276
参考文献279
索引288
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节选

第1章预备知识 本书用( )表示行向量,[ ]表示列向量, diag( )表示对角矩阵,.表示矩阵的转置, I 表示单位矩阵,1表示元素都是1的列向量,0是零矩阵(向量),其维数由上下文确定; Ai 表示矩阵 A 的第 i 列; N+={0,1,2, }为非负整数集;R =(-∞,+∞)为实数集, R+=[0,+∞)为非负实数集,为广义实数集, B(R)为实数 Borel 集全体;对任意,记; Rn 为n 维实数空间, B(Rn)为 Rn 中 Borel 集全体.表示空集,约定. 1.1概率空间与随机变量 定义1.1.1设Ω=(ω)是一非空集合,其中的元素称为“点”,用ω表示.设 F 是Ω中的某些子集所组成的集合,如果 F 具有下列性质,就称它是Ω上的一个σ代数: (1)Ω∈ F; (2)如 A ∈ F,则余集; (3)如,则. 定义1.1.2定义在σ代数 F 上的集函数 P 称为概率,如果 P 满足下列条件: 1°对任意 A ∈ F,有; 2° 3°如,则. 称三元总体(Ω,F, P)为概率空间,并称Ω中的点ω为基本事件,Ω为基本事件空间, F 中的集 A 为事件, P(A)称为事件 A 的概率. 例1.1.1设是Ω中一切子集组成的集合,对任意的,其中 k 为 A 中所含点的个数. 例1.1.2设Ω=(0,1,2, ),即一切非负整数的集, F 为Ω中一切子集的集,其中λ>0为某常数. 例1.1.3设Ω=[0,1],即0与1之间一切实数的集, F 为Ω中一切 Borel 集所成的σ代数, P(A)等于 A 的 Lebesgue 测度. 这三个例中的(Ω,F, P)都是概率空间. 容易推知,概率具有单调性:若 A,B ∈ F,且 A . B,则 P(A). P(B). 有时,需设概率空间(Ω,F, P)或概率 P 为完全的.所谓完全是指:如果A ∈ F 且 P(A)=0,则对.B . A,有 B ∈ F,由概率的单调性,此时必然有P(B)=0.这就是说,对完全概率 P,概率为0的事件 A 的子集 B 也是事件,且概率为0.以后无特别说明时,总设此条件满足. 定义1.1.3设 X(ω)是定义域为Ω取值函数,如果对任意实数 x,有 (1.1.1) 称 X(ω)是一随机变量,简记为随机变量 X. 随机变量的统计规律可用分布函数来描述,下面给出分布函数的定义与性质. 定义1.1.4设(Ω,F, P)是概率空间, X = X(ω)是一随机变量,称为随机变量 X 的分布函数. 以后无特别说明时,我们总设 X(ω)取±∞为值的概率为0,并简单地称X(ω)为实值随机变量,因此分布函数 F(x)具有下列性质: (1) F(x)具有单调性,即若 x10.记作. 指数分布的分布函数为. 定理1.2.2(指数分布的无记忆性)设 X ~ Exp(λ),则对任意 s, t >0. (1.2.9) 显然,若随机变量 X ~ Exp(λ),则有. 1.2.2混合几何分布与混合指数分布 在数据分析中,经常会碰到一些复杂数据,这些数据表现出不同的性质,此时单一地用某个分布来进行数据分析或拟合,将无法满足需求.例如,对于单个总体的寿命试验数据进行分析的统计方法已经发展得非常成熟.但是,在应用中经常会发现设备存在早期失效的个体.也就是说,进行一个寿命试验,前期的失效率是很高的.但是,随着时间的增加,失效率将保持稳定或者继续增加.当然,这和产品的失效机制有关.从实际的角度来看,工程师会把这些产品的失效归结为不同的失效机制.从统计的角度来看,可以认为这一些产品来自于不同的两个或多个子总体. 于是,混合分布被作为一种新的统计模型提出,它用于描述各种不同的分布按照一定的比例混合而成的总体.混合分布模型*早由克拉克(P. K. Clark)提出,[109,122]等对其进行了发展,从而奠定了理论基础.[45]介绍了混合几何分布,并应用于平稳队列系统的忙周期分布;[66]研究了几何分布与负二项分布的(有限项)混合及其拟合;等等. 下面定义混合分布模型,再给出混合几何分布与混合指数分布的定义. 定义1.2.3(混合分布模型)设有 n 个概率函数,其中每个为实数参数(或参数向量).设非负实数λi 满足 (1.2.10) 则也是概率函数,其中.称代表的分布为 n-混合分布,其参数为. 混合分布的随机变量 X 可如下产生.构造 n +1个相互独立的随机变量,其中 Xi 的概率函数为,且 N 的分布律为,则 XN 具有 n-混合分布,其参数为. 混合分布的一种特殊情形是混合几何分布,它是寿命数据的一种分析模型. 定义1.2.4称 X 服从 n-混合几何分布,如果随机变量 X 的概率函数为 (1.2.11) 其中,为混合参数,且.记为. 混合几何分布中,λi 表示第 i 个成分在混合分布中所占的比重, pi 表示分布中第 i 个几何总体的参数;亦可用表示整个总体中的参数.显然,若随机变量,则有. 混合指数分布也是寿命数据中广泛使用的一种非常重要的统计分析模型,它 广泛应用于可靠性分析、故障诊断、生物医学统计、生存分析等领域. 混合分布的另一种特殊情形是混合指数分布. 定义1.2.5称 X 服从 n-混合指数分布,若随机变量 X 的概率函数为 (1.2.12) 其中,为混合参数,且. 在混合指数分布中,λi 表示第 i 个成分在混合分布中所占的比重,αi 表示分布中第 i 个指数总体的参数;亦可用表示整个总体中的参数. 显然,若随机变量,则有,

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