近世代数

**章基础知识 本章主要介绍近世代数中需要用到的基本概念，对熟悉高等代数的人来说，这些概念并不陌生.为了照顾到更多的读者，我们这里仍然介绍一下. 1.1集合 集合是数学中*基本的概念之一，是研究现代数学的基础.我们把若干个(可 以是有限个或者无限个)特定的对象组成的全体叫做集合(set)，这些对象称为集合中的元素(element)或简称元. 元素与集合的关系一般是属于和不属于.在本书中，习惯用大写字母来表示 集合，小写字母表示元素，例如元素a属于集合A，记作.符号2表示属于，对应的/2表示不属于(有些书中用2表示).对于一些典型的集合，有固定的符号来表示，比如所有自然数、整数、有理数、实数和复数组成的集合分别记为N、Z、Q、R和C. 给出一个集合一般有两种表示方法：一种是列举出这个集合中的所有元素，称为列举法(enumeration method);另一种是描述出这个集合中元素所具有的特征性质，称为描述法(descriptive method).例如，由数组成的集合可以记为，即列举出了该集合的所有元素;而我们知道也是方程的两个根，所以集合又可以表示为. 不包含任何元素的集合称为空集(empty set)，记为.相对应地，如果一个集合包含了所有要讨论的元素，那么称这个集合为全集(universal set)，记为U. 除了前面提到的元素与集合之间的关系，集合与集合之间也有一定的关系.如果两个集合A，B含有的元素完全相同，那么称这两个集合相等，记为 如果集合A中的元素全是集合B中的元素，那么称A是B的子集(subset)， 记为 当A不是B的子集时，记为.如果，而且B中还包含其他不属于A的元素，那么称A是B的真子集(proper subset)，记为. 规定空集是任何集合的子集.显然，如果两个集合A，B同时满足和，那么这两个集合相等，即A=B.这是证明两个集合相等的一个一般方法. 我们一般用符号表示集合A中所含元素的个数，即集合的大小.如果集合A中含有无限多个元素，记;如果集合A中包含n个元素，那么记. 幂集(power set)是由一个集合的所有子集组成的集合.一个集合A的幂集，通常记为P(A).如果，那么 集合与集合之间可以定义一定的运算关系，它们通常指集合的交、并、差、补. 定义1.1.1设A，B为两集合. 由A和B所有共同的元素组成的集合称为A与B的交集(intersection set)，简称A与B的交，记作，即 由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(union set)，简称A与B的并，记作A[B，即 例1.1.1设集合，那么 定义1.1.2对集合A，B，称为集合A与B的差集(differenceset). 在例1.1.1中，A与B的差集为.特别地，当时，用Bc表示，称为B(关于A)的补集(complementary set).对集合的交与并有以下性质，证明留给读者. 性质1.1.3(1) (2) (3) (4) 习题1.1 1.证明： 2.证明： 3.(德 摩根律)证明： 4.A，B两集合的对称差集(或环和)定义为 记作A△B.证明： 5.证明： (1) (2) 1.2映射 同集合一样，映射是数学中另一较为基础的概念.中学阶段所研究的函数是一种映射，这里所讲的映射事实上就是函数的一种推广. 定义1.2.1 与函数相比较，上述定义中的集合A就是函数的定义域，a，b分别对应自变量和因变量.需要注意的是，函数的值域是包含在集合B中的，它们并不一定相等. 例1.2.1设，法则f如下： 则f是A到B的一个映射. 例1.2.2设A是全体整数的集合，B是全体偶数的集合，定义 则f是A到B的一个映射. 例1.2.3设A是非负实数集，B是实数集.对任意，那么对应关系f不是A到B的映射.因为当时，不能由x唯一确定. 定义1.2.2设f是集合A到B的一个映射. 若对于任何b2B，都存在a2A，使得f(a)=b，则称f为集合A到B的一个满射(surjection)(映上的). 若对任意a，且，都有，则称f为集合A到B的一个单射(injection)(1-1的). 若f既是满射又是单射，则称映射f为集合A到B的一个双射(bijection)(一一对应). 例1.2.4上述例1.2.1及例1.2.2中映射f均是双射. 例1.2.5设A是数域F上全体n阶方阵组成的集合，集合.对矩阵，r表示矩阵M的秩，那么法则 是一个满射，但不是单射. 例1.2.6设A是非负实数集. 证明f是一个双射. 证明 因此f是满射. 又对任意，如果，即 那么.因此f是单射.综上所述，f是双射. 对有限集合A，B，如果它们的大小相等，即jAj=jBj，并且存在映射，那么 这是用来说明一个映射是双射的常用方法，证明过程留给读者. 下面介绍映射的合成. 定义1.2.3设映射以及，那么它们可以通过连续作用得到一个从A到C的映射 例1.2.7 则合成映射为 注意到这里无意义. 例1.2.8设f，g都是实数集R到R的映射，且 那么，也都是R到R的映射，且 显然，.因此，即使当合成映射，性质1.2.4 即映射的合成满足结合律. 证明 定义1.2.5 定义1.2.6 定理1.2.7 证明若f是双射，则对任意，都存在唯一的，使得f(a)=b. 例1.2.9由定理1.2.7可知，例1.2.6中映射f有逆映射.并且容易验证，其逆映射为