应用数学

模块1 函数 1 1.1 函数的概念 1 1.1.1 变量与区间 1 1.1.2 认识函数 2 1.1.3 函数的表示方法 3 1.1.4 函数的特性 4 1.1.5 反函数 5 练习1.1 5 1.2 基本初等函数 6 1.2.1 常值函数 6 1.2.2 幂函数 6 1.2.3 指数函数 7 1.2.4 对数函数 7 1.2.5 三角函数 8 1.2.6 反三角函数 11 练习1.2 13 1.3 复合函数、初等函数及函数 关系式的建立 13 练习1.3 15 1.4 常见的经济函数 15 练习1.4 18 温故知新：幂运算和对数运算 18 数学实验：数学建模和MATLAB 简介 20 拓展阅读：《周髀算经》与勾股 定理 24 本模块知识要点 25 习题1 25 模块2 极限与连续 28 2.1 数列的极限 28 2.1.1 我国古代的极限思想 28 2.1.2 数列极限的定义 29 练习2.1 30 2.2 函数的极限 30 2.2.1 当 时函数的极限 30 2.2.2 当 时函数的极限 31 2.2.3 无穷小与无穷大 33 练习2.2 34 2.3 极限的运算 34 2.3.1 极限的四则运算法则 34 2.3.2 两个重要极限 36 2.3.3 无穷小的比较 38 练习2.3 40 2.4 函数的连续性 40 2.4.1 函数连续性的定义 41 2.4.2 间断点及其分类 42 2.4.3 连续函数的运算 44 2.4.4 闭区间上连续函数的性质 45 练习2.4 46 数学实验：用MATLAB计算极限 46 拓展阅读：中国早期的极限思想 47 本模块知识要点 48 习题2 49 模块3 一元函数微分学及应用 52 3.1 函数变化率模型——导数的 概念 52 3.1.1 函数变化率模型 52 3.1.2 导数的概念 54 3.1.3 求导举例 56 3.1.4 可导与连续的关系 58 练习3.1 60 3.2 导数的运算 60 3.2.1 导数的四则运算法则 60 3.2.2 基本初等函数的求导公式 61 3.2.3 复合函数的求导法则 62 3.2.4 隐函数求导法 63 3.2.5 对数求导法 64 *3.2.6 由参数方程确定的函数的 求导法 65 3.2.7 高阶导数 66 练习3.2 68 3.3 函数的微分 69 3.3.1 微分的概念 69 3.3.2 微分的几何意义 71 3.3.3 微分的计算 71 3.3.4 微分在近似计算上的应用 73 练习3.3 73 *3.4 微分中值定理 74 3.4.1 拉格朗日定理 74 3.4.2 罗尔定理 75 3.4.3 柯西定理 76 练习3.4 76 3.5 洛必达法则 76 3.5.1 洛必达法则定义 77 3.5.2 洛必达法则的应用 77 练习3.5 80 3.6 函数的单调性和极值 81 3.6.1 函数的单调性 81 3.6.2 函数的极值 83 3.6.3 函数的*大值与*小值 86 3.6.4 建模案例：客房的定价问题 89 练习3.6 90 3.7 函数的凹凸性与拐点 90 练习3.7 92 *3.8 函数图形的描绘 92 3.8.1 曲线的渐近线 92 3.8.2 函数作图 93 练习3.8 94 数学实验：用MATLAB求导数 和极值 94 拓展阅读：微积分的创立及其 历史意义 95 本模块知识要点 96 习题3 96 模块4 一元函数积分学及应用 100 4.1 原函数与不定积分 100 4.1.1 原函数与不定积分的定义 100 4.1.2 不定积分基本公式 101 4.1.3 不定积分的性质 102 练习4.1 103 4.2 定积分的概念 104 4.2.1 引例(求总量模型) 104 4.2.2 定积分的定义 106 4.2.3 定积分的几何意义 107 4.2.4 定积分的基本性质 108 练习4.2 109 4.3 微积分基本公式 110 4.3.1 积分上限函数 110 4.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 111 练习4.3 111 4.4 **类换元积分法 112 4.4.1 不定积分的**类换元法 112 4.4.2 定积分的**类换元法 114 练习4.4 115 4.5 第二类换元积分法 116 4.5.1 不定积分的第二类换元法 116 4.5.2 定积分的第二类换元法 117 练习4.5 118 4.6 分部积分法 118 4.6.1 不定积分的分部积分法 119 4.6.2 定积分的分部积分法 120 练习4.6 120 4.7 定积分在几何上的应用 121 4.7.1 微元法 121 4.7.2 平面图形的面积 121 4.7.3 旋转体的体积 123 *4.7.4 平面曲线的弧长 125 练习4.7 126 *4.8 定积分在物理上的应用 127 4.8.1 变速直线运动的加速度、速度 和位移 127 4.8.2 建模案例1：飞行跑道的设计 模型 127 4.8.3 变力沿直线做功 128 4.8.4 建模案例2：第二宇宙速度 129 练习4.8 130 4.9 无穷区间的广义积分 131 4.9.1 广义积分的定义 131 4.9.2 广义积分的计算 132 练习4.9 133 数学实验：用MATLAB求一元函数的 积分 133 拓展阅读：祖冲之父子与祖暅原理 134 本模块知识要点 135 习题4 136 模块5 常微分方程 139 5.1 微分方程的基本概念 139 5.1.1 认识微分方程 139 5.1.2 微分方程的基本概念 140 练习 5.1 141 5.2 可分离变量的微分方程 142 5.2.1 可分离变量的微分方程概念及 求解 142 5.2.2 齐次方程 145 练习5.2 147 5.3 一阶线性微分方程 148 5.3.1 一阶线性微分方程的概念 及求解 148 5.3.2 一阶线性微分方程的应用 151 练习5.3 152 5.4 二阶常系数线性微分方程 153 5.4.1 二阶常系数线性微分方程的 解的结构 153 5.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的 解法 154 练习5.4 157 5.5 数学建模案例——人口增长 模型 158 数学实验：MATLAB在常微分 方程中的应用 162 拓展阅读：数学笔尖上了不起的 成就——海王星的发现 162 本模块知识要点 163 习题5 164 模块6 线性代数初步 166 6.1 矩阵的概念及运算 166 6.1.1 矩阵的概念 167 6.1.2 矩阵的运算 168 练习 6.1 173 6.2 矩阵的初等行变换及其应用 174 6.2.1 矩阵的初等变换 174 6.2.2 行阶梯形矩阵 175 6.2.3 矩阵的秩 176 6.2.4 逆矩阵 177 练习 6.2 181 6.3 线性方程组 182 6.3.1 线性方程组的概念 182 6.3.2 线性方程组有解的判定 184 6.3.3 求线性方程组的解 186 练习6.3 189 6.4 矩阵与线性方程组的简单 应用 189 6.4.1 矩阵加密与解密 189 6.4.2 线性方程组在直流电路分析中的 应用 190 6.4.3 建模案例：交通管理模型 191 练习6.4 192 数学实验：MATLAB在线性代数中的 应用 192 拓展阅读：《九章算术》与线性 方程组 194 本模块知识要点 195 习题6 196 模块7 无穷级数 199 7.1 级数的概念 199 7.1.1 分割问题——认识常数项级数 199 7.1.2 常数项级数 200 7.1.3 常数项级数的性质 202 练习 7.1 203 7.2 常数项级数的审敛法 203 7.2.1 正项级数及其审敛法 203 7.2.2 交错级数及其审敛法 206 7.2.3 绝对收敛与条件收敛 207 练习 7.2 208 7.3 幂级数 208 7.3.1 函数项级数 208 7.3.2 幂级数及其收敛性 209 7.3.3 幂级数的和函数的性质 210 练习7.3 211 *7.4 傅里叶级数 212 7.4.1 三角级数 212 7.4.2 三角函数系的正交性 212 7.4.3 周期为2π的函数展开为 傅里叶级数 213 练习 7.4 217 数学实验：MATLAB在级数中的 应用 218 拓展阅读：级数的意义 219 本模块知识要点 220 习题7 220 模块8 多元函数微积分学 223 8.1 多元函数的基本概念 223 8.1.1 空间直角坐标系 223 8.1.2 平面点集 224 8.1.3 多元函数的概念 227 8.1.4 二元函数的极限 228 8.1.5 二元函数的连续性 229 练习 8.1 230 8.2 偏导数与全微分 231 8.2.1 偏导数的概念 231 8.2.2 高阶偏导数 233 8.2.3 全微分 234 练习8.2 236 8.3 多元复合函数和隐函数的 求导法则 236 8.3.1 多元复合函数的求导法则—— 链式法则 236 8.3.2 隐函数的偏导数 239 练习8.3 241 8.4 二元函数的极值与*值 242 8.4.1 多元函数的极值与*值 242 8.4.2 条件极值和拉格朗日乘数法 244 8.4.3 建模案例：企业利润问题 247 练习 8.4 248 8.5 二重积分的概念和性质 248 8.5.1 二重积分的概念 248 8.5.2 二重积分的性质 250 练习 8.5 251 8.6 二重积分的计算 252 8.6.1 直角坐标系下二重积分的计算 252 *8.6.2 极坐标系下二重积分的计算 254 练习 8.6 255 8.7 二重积分的应用 256 8.7.1 利用定积分求空间曲面所围 立体的体积 256 8.7.2 利用定积分求曲面的面积 257 8.7.3 定积分在其他方面的应用 257 练习8.7 258 数学实验：MATLAB在多元微积分 中的应用 258 拓展阅读：笛卡儿和直角坐标系 260 本模块知识要点 261 习题8 262 参考文献 26