线性代数(第二版)

目录 致读者 前言 **版前言 各章之间逻辑关系图 第1章 行列式 1 1.1 行列式的定义 1 1.1.1 2 阶和 3 阶行列式的定义 1 1.1.2 n阶行列式的定义 4 1.2 行列式的性质和计算 11 1.2.1 行列式的性质 11 1.2.2 n阶行列式的Laplace展开定理 14 1.2.3 行列式的计算 17 1.3 Cramer法则 26 1.4 思考与拓展 31 1.4.1 平面解析几何中行列式的意义和应用 31 1.4.2 空间解析几何中行列式的意义和应用 32 1.4.3 n阶行列式Dn=det(aij)=|aij|的直接定义 33 1.4.4 行列式发展简述 33 复习题1 34 第2章 矩阵 38 2.1 矩阵的基本概念 38 2.1.1 几个实例 38 2.1.2 矩阵的基本概念 39 2.1.3 一些特殊类型的重要矩阵 41 2.2 矩阵的代数运算 44 2.2.1 矩阵的线性运算 44 2.2.2 矩阵的乘法 46 2.2.3 矩阵乘法的运算规律 50 2.2.4 方阵的幂 56 2.2.5 矩阵的转置 60 2.2.6 应用举例 61 2.3 矩阵的逆 65 2.3.1 逆矩阵的概念 65 2.3.2 伴随矩阵 67 2.3.3 逆矩阵的基本性质 71 2.3.4 矩阵方程 75 2.4 初等变换与初等矩阵 81 2.4.1 初等变换 81 2.4.2 初等矩阵 87 2.4.3 矩阵可逆的初等变换判别法及逆矩阵的初等变换求法 90 2.5 矩阵的秩 94 2.5.1 矩阵秩的概念 94 2.5.2 矩阵秩的性质和计算 96 2.6 分块矩阵 99 2.6.1 矩阵的分块 99 2.6.2 分块矩阵的运算 101 2.6.3 分块矩阵的初等变换 104 2.7 思考与拓展 111 2.7.1 n阶方阵A可逆的等价表述 111 2.7.2 转置矩阵、可逆矩阵、伴随矩阵常见性质的比较 112 2.7.3 矩阵发展简述 112 复习题2.113 第3章 线性空间初步 117 3.1 线性空间的概念 117 3.1.1 Euclid线性空间Rn 117 3.1.2 m×n矩阵线性空间Rm×n 118 3.1.3 线性空间的定义 119 3.2 子空间 122 3.2.1 线性空间的子空间 122 3.2.2 线性组合、线性表示和张成空间 124 3.3 向量的线性相关和线性无关 127 3.3.1 向量线性相关和线性无关的概念 127 3.3.2 向量组线性相关性的判定 130 3.4 向量组的秩 138 3.4.1 极大线性无关组 138 3.4.2 向量组的等价 140 3.4.3 向量组秩的概念 141 3.4.4 向量组的秩和极大线性无关组的求法 143 3.5 线性空间的基和维数149 3.5.1 线性空间的基 149 3.5.2 线性空间的维数 152 3.5.3 有序集和向量的坐标 156 3.6 线性空间的基变换和坐标变换.158 3.6.1 基变换 158 3.6.2 坐标变换 161 3.7 思考与拓展 166 复习题3 168 第4章 线性方程组.172 4.1 基本概念和术语 172 4.1.1 线性方程组的表示 172 4.1.2 线性方程组的解与可解性 174 4.2 齐次线性方程组解的结构与求解 177 4.2.1 齐次线性方程组解的结构 177 4.2.2 齐次线性方程组的求解 178 4.2.3 基础解系的初等变换求法 188 4.3 非齐次线性方程组解的结构与求解 190 4.3.1 非齐次线性方程组的可解性 190 4.3.2 非齐次线性方程组解的结构 192 4.3.3 非齐次线性方程组的求解 193 4.4 思考与拓展 202 4.4.1 关于线性方程组可解性的主要结果 202 4.4.2 关于线性方程组可解性的几何意义 202 4.4.3 关于线性方程组反问题的概念 204 4.4.4 线性方程组发展简述 204 复习题4.204 第5章 矩阵的特征值、特征向量与对角化 207 5.1 矩阵的特征值与特征向量 207 5.1.1 问题的提出 207 5.1.2 特征值与特征向量的概念 208 5.1.3 特征多项式、特征方程及特征值和特征向量的计算 209 5.1.4 特征子空间 213 5.1.5 特征值与特征向量的性质 216 5.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化 223 5.2.1 相似矩阵 223 5.2.2 矩阵的相似对角化 225 5.3 内积空间与正交矩阵235 5.3.1 内积空间 235 5.3.2 正交向量组和正交矩阵 237 5.4 实对称矩阵 242 5.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 242 5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 243 5.5 应用举例 250 5.6 思考与拓展 254 5.6.1 关于特征值和特征向量的几个概念性问题 254 5.6.2 关于相似对角化的几个基本问题 254 复习题5 255 第6章 二次型 260 6.1 二次型的概念 260 6.1.1 二次型的定义 260 6.1.2 标准形 263 6.2 化二次型为标准形 266 6.2.1 配方法 266 6.2.2 正交变换法和主轴定理 270 6.3 惯性定理与正定二次型 274 6.3.1 惯性定理 274 6.3.2 正定二次型 278 6.4 双线性函数简介284 6.4.1 线性函数 284 6.4.2 双线性函数 284 6.5 思考与拓展 286 6.5.1 关于二次型f(x)在可逆线性变换下的不变量问题 286 6.5.2 关于矩阵等价、相似、合同的关系问题 286 6.5.3 二次型在二次*线化简和分类中的应用.286 6.5.4 二次型在二次*面化简和分类中的应用.287 6.5.5 二次型发展简述 287 复习题6 288 第7章 数值计算初步 291 7.1 矩阵级数 291 7.1.1 矩阵级数的定义 291 7.1.2 关于矩阵序列的几个定理 292 7.2 求解线性方程组的迭代法 296 7.2.1 基本思路 296 7.2.2 迭代公式 298 7.2.3 收敛条件 299 7.3 矩阵特征值和特征向量的近似算法 300 7.3.1 和法 300 7.3.2 幂法 301 7.4 思考与拓展 305 第8章 应用举例 309 8.1 投入产出模型简介 309 8.1.1 投入产出模型的概念 309 8.1.2 平衡方程组 310 8.1.3 消耗系数 311 8.1.4 平衡方程组的解 312 8.2 线性规划模型简介 316 8.2.1 线性规划模型 316 8.2.2 单纯形法介绍 319 8.3 层次分析模型简介 325 8.3.1 层次分析法的概念和思想 325 8.3.2 层次分析模型及决策实例 326 第9章 MATLAB实验 335 参考文献 342