复变函数

第1章 复数与复变函数 1.1 复数及其代数运算 1.1.1 复数的概念 1.1.2 复数的代数运算 习题 1.2 复数的几何表示 1.2.1 复平面 1.2.2 复无穷和复球面 习题 1.3 复数的乘幂与方根 1.3.1 乘积与商 1.3.2 整数次幂与方根 习题 1.4 区域 1.4.1 开集和闭集 1.4.2 区域和连通性 习题 1.5 复变函数 1.5.1 复变函数的定义 1.5.2 映射的概念 习题 1.6 复变函数的极限和连续性 1.6.1 复变函数的极限 1.6.2 复变函数的连续性 习题 1.7* 四元数及其应用 1.7.1 超复数 1.7.2 四元数的定义 1.7.3 三维旋转 1.7.4 旋转四元数 本章小结 作业 第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念 2.1.1 复变函数的导数与微分 2.1.2 解析函数及其简单性质 习题 2.2 柯西黎曼方程 习题 2.3 初等复变解析函数 2.3.1 复变指数函数 2.3.2 复变对数函数 2.3.3 复变幂函数 2.3.4 复变三角函数和复变双曲函数 2.3.5 复变反三角函数和复变反双曲函数 习题 本章小结 作业 第3章 复变函数的积分 3.1 复变函数积分的概念 3.1.1 复积分的定义 3.1.2 路径积分的计算 3.1.3 路径积分的性质 习题 3.2 柯西古萨基本定理 3.3 多连通域的柯西古萨定理 习题 3.4 原函数与不定积分 习题 3.5 柯西积分公式 3.6 解析函数的高阶导数公式 3.6.1 路径积分的导数 3.6.2 莫雷拉定理 习题 3.7 解析函数与调和函数的关系 习题 本章小结 作业 第4章 级数 4.1 复数项级数 4.1.1 复数列的收敛性 4.1.2 复数项级数的概念 习题 4.2 幂级数 4.2.1 幂级数的概念 4.2.2 收敛圆和收敛半径 4.2.3 收敛半径的求法 4.2.4 幂级数的运算和性质 习题 4.3 泰勒级数 习题 4.4 洛朗级数 习题 本章小结 作业 第5章 留数 5.1 孤立奇点 5.1.1 可去奇点 5.1.2 本性奇点 5.1.3 极点 5.1.4 复无穷处的奇点 5.1.5 函数的零点与极点的关系 习题 5.2 留数和留数定理 5.2.1 留数的定义及留数定理 5.2.2 留数的计算规则 5.2.3 无穷远点的留数 习题 5.3 留数在定积分计算中的应用 5.3.1 三角函数在[0,2π]上的积分 5.3.2 形如∫∞-∞f(x)dx的积分 5.3.3 形如∫∞-∞f(x)cosxdx或∫∞-∞f(x)sinxdx的积分 习题 本章小结 作业 第6章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1.1 解析函数导数的几何意义 6.1.2 共形映射的定义 6.1.3 临界点附近的映射行为 习题 6.2 分式线性映射 6.2.1 分式线性映射的定义 6.2.2 保圆性 6.2.3 保对称性 习题 6.3 施瓦茨克里斯托费尔映射 6.3.1 将实轴映射为多边形 6.3.2 施瓦茨克里斯托费尔映射的概念 6.3.3 将上半平面映射为三角形或矩形 本章小结 第7章 弹性理论 7.1 弹性理论中的概念 7.2 应力状态 7.2.1 三轴应力状态 7.2.2 平面状态 7.2.3 双轴应力状态 7.3 工程应力状态 7.4 平衡方程 7.4.1 在笛卡尔坐标系下 7.4.2 在极坐标系下 7.5 双调和方程 7.6 艾里应力函数 7.7 复势函数 本章小结 第8章 线弹性断裂力学 8.1 加载模式 8.2 韦斯特加德应力函数 8.2.1 边界条件 8.2.2 近场应力分析 8.3 二维裂纹问题 8.3.1 Ⅰ型裂纹 8.3.2 Ⅱ型裂纹 8.3.3 Ⅲ型裂纹 8.4 裂纹问题的特征函数法 本章小结 附录A 复变函数的Python计算 A.1 用Python化简复数 A.1.1 在Python中创建复数 A.1.2 Python中的复数类型 A.1.3 复数算术 A.1.4 Python中关于复数的数学模块 A.1.5 Python中的复数剖析 A.1.6 用Matplotlib在Python中绘制复数 A.2 用SymPy做符号计算 A.2.1 符号的定义 A.2.2 函数类 A.2.3 极限 A.2.4 积分 A.2.5 微分 A.2.6 四元数 A.2.7 绘图 参考文献