代数学教程:第二卷:Volume Ⅱ:抽象代数基础:Basics of abstract algebra

**章 群论基础//1
§1 带有运算的集合 //1
1.1 代数运算的基本概念 //1
1.2 代数系统的特殊元素——单位元·零元//4
1.3 二元运算的一般性质——结合律·交换律·分配律 //6
1.4 逆运算·逆元 //10
1.5 代数系统的同构 //12
1.6 代数系统的同态 //14 §2 群的基本概念 //17
2.1 群的概念·群的例子 //17
2.2 群的性质·群的第二定义 //20
2.3 有限群的另一定义 //22
2.4 群元素的阶 //25 §3 变换群·循环群 //27
3.1 变换群 //27
3.2 置换·对称群 //33
3.3 循环群·整数加群与剩余类群 //37 §4 子群 //44
4.1 群的子集 //44
4.2 子群//45
4.3 交集与生成元 //47
4.4 生成系 //52
4.5 陪集 //55
4.6 循环群的子群//60
4.7 直积 //62
4.8 1阶到8阶群的概论 //68
4.9 乘积定理·双陪集 //74
§5 正规子群 //77
5.1 正规子群·单纯群 //77
5.2 商群//81
5.3 共轭类·中心化子·正规化子 //83
5.4 群的同态·同态基本定理 //87
5.5 商群的子群 //91
5.6 两个同构定理 //94
5.7 群的自同构 //97
5.8 交换群的鉴定·换位子群 //100
§6 子群列 //102
6.1 正规群列与合成群列//102
6.2 合成群列 //105
6.3 可解群及其判定 //107
6.4 可解群的性质·有限群的情形 //109
§7 置换群理论 //112
7.1 S,的共轭类 //112
7.2 对换 //115
7.3 交代群 //118
7.4稳定子群 //123
7.5 可迁群 //126
7.6 非可迁群 //130
7.7 置换表示 //132
§8 有限群的素数幂子群 //136
8.1 柯西定理 //136
8.2 西罗定理 //138
8.3 推广 //141
第二章 环论基础//146
§1 环的基本概念 //146
1.1 环的概念 //146
1.2 环的性质 //148
1.3 交换律·单位元·零因子·整环 //154
1.4 除环·域 //157
1.5 无零因子环的特征 //164
1.6 子环·环的同态 //166
1.7 商域 //169
§2 理想与环的同态 //172
2.1 理想 //172
2.2 理想的交与和·主理想 //174
2.3 理想的乘法 //178
2.4 理想的除法 //179
2.5 商环 //182
2.6 环的同态定理 //184
2.7 素理想和极大素理想 //186
2.8 环的直和 //190 §3 整环内的因子分解 //193
3.1 单位·不可分解元·素元 //193
3.2 元素的相伴 //197
3.3 唯一分解环的概念//199
3.4 唯一分解环的特征与性质 //201
3.5 理想与整除性 //204
3.6 主理想环 //206
3.7 欧氏环 //208 §4 多项式环 //211
4.1 交换环上的多项式环 //211 4.2 整环上的一元多项式环 //215
4.3 高斯整环的多项式扩张 //219
4.4 诺特环 //223
4.5 理想的既约分解 //227 §5 有序环和有序域 //229
5.1 环和域的有序化 //229
5.2 分离性和稠密性 //235
§6 布尔代数与格 //237
6.1 基本定义 //237
6.2 定律：同算术定律类比 //238
6.3 布尔代数 //240
6.4 其他基本定律的推导 //242
6.5 布尔多项式的标准型 //244
6.6 半序//247
6.7 格 //248
6.8 集合表示 //250
第三章 域论基础 //254
§1 域的扩张 //254
1.1 子域·扩域·素域 //254
1.2 添加 //257
1.3 单纯扩张·代数扩张与超越扩张 //259 §2 域的代数扩张 //261
2.1 域上的代数元素 //261
2.2 单纯扩张的存在性与唯一性 //263
2.3 次数与有限扩张 //266
2.4 有限扩张的基本定理 //268
2.5 多重代数扩张 //270
2.6 迹与范数 //272§3 分裂域·正规性 //276
3.1 分裂域 //276
3.2 正规扩域·分裂域的正规性 //279 3.3 代数闭包 //281
§4 素域上的单位根域·有限域 //286
4.1 单位根//286
4.2 分圆多项式 //288
4.3 有限域 //291
§5 可分与不可分扩张 //295
5.1 可分多项式与不可分多项式 //295
5.2 可分与(纯)不可分元素 //299
5.3 可分与不可分扩张·完全域及不完全域 //300
5.4 施坦尼茨定理·本原元素定理 //304
第四章 伽罗瓦理论 //310
§1 伽罗瓦群 //310
1.1 伽罗瓦群的概念 //310
1.2 群特征标·子群与子域 //312
1.3 伽罗瓦扩域·伽罗瓦群 //318 §2 多项式的伽罗瓦群 //320
2.1 多项式的伽罗瓦群的定义及可迁性 //320
2.2 多项式的伽罗瓦群的计算 //323 §3 伽罗瓦理论的基本定理 //327
3.1 伽罗瓦群的性质 //327
3.2 伽罗瓦理论的基本定理 //329
3.3 共轭的域·正规扩域的第二种定义 //332
3.4 共轭映射的个数 //334
3.5 应用：对称多项式基本定理和代数基本定理的证明 //337 §4 具有特殊群的正规扩域 //339
4.1 分圆扩域 //339
4.2 循环扩域 //343
4.3 可解扩域与根式扩张 //349 §5 代数方程的根号解问题 //352
5.1 代数方程的根号解 //352
5.2 n次一般方程 //354 5.3 二次、三次与四次方程 //357
5.4 有理数域上的素数次分圆方程 //362
5.5 素数次的多项式 //365
5.6 圆规与直尺作图//370
参考文献//374