自动控制中的线性代数

目录第1章 线性空间与线性映射 1 1.1 线性空间 1 1.1.1 线性空间的概念 1 1.1.2 向量的线性相关性 3 1.2 基与坐标、坐标变换 5 1.2.1 基与维数、坐标 5 1.2.2 基变换与坐标变换 8 1.3 线性子空间 11 1.3.1 线性子空间的概念 11 1.3.2 子空间的交与和 13 1.3.3 子空间的直和、补子空间 17 1.4 线性映射 18 1.4.1 线性映射的定义 18 1.4.2 线性映射的矩阵表示 19 1.4.3 线性空间的同构 26 1.5 线性映射的值域与核 27 1.6 复合映射 31 1.7 商空间 32 1.8 习题 37 第2章 多项式矩阵与 Smith 标准形 42 2.1 多项式矩阵 42 2.2 初等变换与多项式矩阵的 Smith 标准形 44 2.3 初等因子与等价条件 51 2.4 多项式矩阵的理想与互质 57 2.5 习题 58 第3章 线性变换与空间分解 63 3.1 线性变换的特征值和特征向量 63 3.2 相似条件、相似化简与自然标准形 70 3.2.1 矩阵相似条件 70 3.2.2 相似化简与自然标准形 72 3.3 Cn×n 与 Rn×n 中的 Jordan 标准形 74 3.3.1 Cn×n 中的 Jordan 标准形 743.3.2 Rn×n 中的 Jordan 标准形 77 3.3.3 线性空间V的广义特征子空间分解 78 3.4 *小多项式与空间**分解定理 83 3.4.1 化零多项式与*小多项式 83 3.4.2 空间**分解定理 86 3.4.3 C 上 n 维线性空间 V 的分解 89 3.5 循环不变子空间与空间第二分解定理 100 3.5.1 循环不变子空间 100 3.5.2 空间第二分解定理 101 3.6 习题 108 第4章 酉空间及酉空间上的线性变换、二次型 111 4.1 内积空间 111 4.1.1 内积和内积空间的定义 111 4.1.2 内积空间的性质 113 4.1.3 酉空间的度量 116 4.2 标准正交基、Schmidt 正交化方法 117 4.3 酉变换与正交变换 122 4.4 幂等矩阵与正交投影 124 4.4.1 投影变换与幂等矩阵 124 4.4.2 正交补、正交投影 129 4.5 伴随映射 131 4.6 正规变换与正规矩阵 135 4.7 Hermitian 矩阵与二次齐式 143 4.7.1 Hermitian 矩阵、实对称矩阵 143 4.7.2 Hermitian 二次齐式 145 4.7.3 正定二次齐式、正定 Hermitian 矩阵 146 4.7.4 Hermitian 矩阵偶在合同变换下的标准形 151 4.8 Rayleigh 商 158 4.9 习题 163 第5章 线性映射与矩阵的分解 168 5.1 单纯线性变换与矩阵的谱分解 168 5.1.1 单纯线性变换的谱分解 168 5.1.2 单纯矩阵的谱分解 174 5.1.3 正规变换与正规矩阵的谱分解 177 5.2 线性映射与矩阵的奇异值分解 185 5.3 线性映射与矩阵的满秩分解 190 5.4 线性映射与矩阵的极分解 193 5.5 习题 196第6章 范数及其应用 199 6.1 向量范数 199 6.2 矩阵与线性映射的范数 205 6.2.1 矩阵范数 205 6.2.2 矩阵的诱导范数与线性映射的范数 207 6.3 矩阵序列与极限 212 6.4 矩阵幂级数 214 6.5 习题 217 第7章 矩阵函数 223 7.1 齐次状态方程的解与矩阵幂级数 223 7.2 矩阵函数的 Jordan 表达式 225 7.3 矩阵函数的多项式表示 227 7.4 矩阵函数的 Lagrange-Sylvester 内插公式 233 7.5 一阶线性定常非齐次微分方程组的解 234 7.6 线性定常连续时间系统的稳定性 236 7.7 线性时变微分方程 x˙ (t) = A(t)x(t) 237 7.8 习题 242 第8章 线性映射与矩阵的三类广义逆 245 8.1 线性映射与矩阵的广义逆 245 8.1.1 线性映射的广义逆 245 8.1.2 矩阵的广义逆 251 8.2 线性映射与矩阵的自反广义逆 255 8.2.1 线性映射的自反广义逆 255 8.2.2 矩阵的自反广义逆 257 8.3 线性映射与矩阵的伪逆 258 8.4 广义逆与线性方程组的解 262 8.4.1 相容非齐次方程的解 262 8.4.2 相容非齐次方程的*小范数解 264 8.5 不相容非齐次方程的*优近似解 265 8.6 习题 267 第9章 矩阵方程及其应用 269 9.1 Kronecker 积的定义与性质 269 9.2 Kronecker 积的特征值 273 9.3 线性矩阵方程 274 9.3.1 矩阵的列展开与行展开 274 9.3.2 线性矩阵代数方程 276 9.4 矩阵指数应用一: 稳定性理论 278 9.5 矩阵理论应用: 可控性与可观测性 2809.5.1 状态可控性及其判据 280 9.5.2 状态可观测性及其判据 284 9.5.3 空间分解定理的应用: 可控性与可观测性的本质 285 9.5.4 状态反馈、极点配置与镇定问题 287 9.5.5 状态观测器及输出注入反馈 289 9.5.6 传递函数矩阵在 RH∞ 中的互质分解 291 9.5.7 可控性、可观测性的度量与平衡实现 296 9.6 矩阵指数应用二: Hankel 算子及其 Schmidt 分解 300 9.6.1 Hankel 算子 300 9.6.2 Hankel 范数的计算 301 9.6.3 Hankel 算子的 Schmidt 分解 303 9.7 连续时间代数 Riccati 方程的解 305 9.8 离散时间代数 Riccati 方程的解 312 9.9 习题 318 符号表 325 附录 A 基本代数系统 327 A.1 抽象代数的基本概念 327 A.2 群 327 A.2.1 多项式群 328 A.2.2 二进制加法群 329 A.3 环 331 A.4 域 333 附录 B 多项式 334 B.1 线性代数 334 B.2 多项式环与 Euclidean 除法 337 B.3 多项式理想 340 B.4 多项式的因式分解 344 B.5 多项式的根与系数的关系 346 附录 C 一些结果的证明 347 C.1 引理 2.2.1 和引理 2.2.2 的证明 347 C.1.1 引理 2.2.1 的证明 347 C.1.2 引理 2.2.2 的证明 348 C.2 确定过渡矩阵 X 350 参考文献 358